Предварительно напряженные комбинированные стержневые и вантовые конструкции

3.2. Расчет гибких нитей и предварительно напряженных стержневых конструкций методом конечных элементов

Плоские и пространственные предварительно напряженные конструкции, однопоясные и двухпоясные висячие системы, плоские и объемные пространственные сети могут быть рассчитаны при едином подходе методом конечных элементов. Начало развития этого метода было заложено в шестидесятые и семидесятые годы, получило в последствии широкое применение при расчете различных конструкций.

Использование этого метода позволяет производить как статические, так и динамические расчеты, применяя единый алгоритм подготовки и ввода исходных данных для конструкций различного вида и уровня сложности.

Существенный вклад в развитие метода конечных элементов внесли как отечественные ученые [13], [15], [31], так и зарубежные специалисты, позволившие разработать целый ряд универсальных программ для расчета на ЭВМ. К ним относятся ЛИРА, ГАММА, Mikrofe и другие отечественных авторов, а также NASTRAN, OKABUS, ANSYS, FLOWERS и другие зарубежных разработчиков.

Несмотря на очевидные преимущества, применение метода конечных элементов имеет и определенные недостатки. Использование метода упрощается в тех случаях, когда

1. Элементы вантовой системы прямолинейны.
2. Величина усилия предварительного напряжения известна заранее.

С другой стороны, при проведении расчетов могут возникнуть некоторые трудности, которые преодолеваются с помощью специальных приемов.

К таким проблемам относятся:

• - численная и практическая реализация предварительного напряжения;
• - учет влияния жесткости опорных контуров на напряженное состояние канатных элементов;
• - использование криволинейных элементов;
• - учет расчетов на устойчивость опорных конструкций.

3.2.1. Теоретические основы метода конечных элементов для расчета предварительно напряженных стержневых и вантовых систем

В расчете таких конструкций методом конечных элементов принимаются следующие предпосылки:

• - канатные элементы аппроксимируются прямолинейными стержнями постоянного сечения;

188

• - канатные элементы передают только нормальную растягивающую силу;
• - опорные элементы работают на сжатие с изгибом;
• - внешняя нагрузка прикладывается в узлы конструкции;
• - зависимость между напряжениями и деформациями принимается линейной.

Эти предпосылки значительно упрощают расчет и позволяют рассматривать канатные конструкции как стержневые системы. При этом необходимо учитывать, что вантовые конструкции отличаются от стержневых тем, что первые из них могут быть многократно статически неопределимыми и при определенных условиях геометрически изменяемыми.

На рис. 3.11, а показана простая канатная система, являющаяся геометрически изменяемой. Для схем рис. 3.11,6 и 3.11,в геометрическая неизменяемость обеспечена благодаря наличию достаточного количества стержней (рис. 3.11,6) или наличию внешней нагрузки.

Такие системы являются нелинейными, для их решения используются различные итеративные методы. Наиболее распространенными из них являются методы Эйлера, Ньютона-Рафсона и другие.

3.2.1.1. Матрица жесткости шарнирно-опертого стержневого и канатного элементов

При расчете вантовых и предварительно напряженных комбинированных конструкций производится учет деформируемого состояния при составлении уравнений равновесия. Рассмотрим элемент, деформирующийся в плоскости под действием узловых сил. Из геометрических соотношений, принимая начальную длину l = 1, можно получить (рис. 3.12)

189

1 + Δl = √(1 + Δx)² + Δz² = √1 + 2 · Δx + Δx² + Δz²

(3.44)

Раскладывая в степенной ряд подкоренное выражение (3.44),получим:

ε = u'_x +

1

2

· (u'_x)² +

1

2

· (w'_x)²
ε; =

Δl

l

, u'_x =

Δx

l

, w'_x = 

Δz

l

(3.45 а)

Для деформирования стержня в пространстве выражение (3.45 а) имеет вид:

ε = u'_x +

1

2

 · (u'_x)² + 

1

2

 · (v'_x)² + 

1

2

 · (w'_x)²

(3.45 б)

В уравнениях (3.45 а) и (3.45 б) все слагаемые кроме первого являются нелинейными составляющими, зависят от деформированного состояния. Эти выражения применены в дальнейшем для определения энергии деформации стержневой системы, с помощью которой, используя первую теорему Кастелиано [103], находят матрицу жесткости для рассчитываемой конструкции.

Выражение для энергии деформации U имеет вид:

U =

1

2

 · 

l

∫

0

∫

A

σ · ε · dA · dx =

1

2

 · 

l

∫

0

∫

A

E · σ² · dA · dx

или

U =

1

2

 · 

l

∫

0

E · A · ε² · dx

(3.46)

при A = const,

где А, Е - площадь сечения и модуль упругости стержня (E = const); σ - напряжение в стержне.

Подставляя значение деформаций (3.45 б) в (3.46), получим

U =

1

2

 · 

l

∫

0

E · A · [(u`_x +

1

2

 · (u'_x)² +

1

2

 · (v'_x)² +

1

2

· (w'_x)²]² · dx

(3.47)

или

190

U = U₍₀₎ + U₍₁₎ + U₍₂₎

(3.48)

где

U₍₀₎ =

E · A

2

 · 

l

∫

0

(u'_x)₂ · dx

(3.49)

U₍₁₎ =

E · A

2

 · 

l

∫

0

[(u'_x)³ + (u'_x) · (v'_x)² + (u') · (w')²] · dx

(3.50)

U₍₂₎ =

E · A

2

 · 

l

0

[(

1

2

 · (u')² · (v')² + (u')² · (w')² ) +

1

4

 · { (u')⁴ + (v')⁴ + (w')⁴}] · dx

(3.51)

Составляющие сил, приложенных к стержню S_i, по направлениям действующих деформаций d_i могут быть получены с учетом теоремы Кастелиано из выражения

S_i =

δU

δd

(3.52)

Коэффициенты матрицы жесткости выглядят следующим образом

k_ij =

δSi

δdi

(3.53)

Матрица жесткости элементов для расчетов с учетом геометрической нелинейности имеет вид

К = К₍₀₎+К₍₁₎+К₍₂₎

(3.54)

где К₍₀₎ - линейная составляющая матрицы жесткости;

K₍₁₎, К₍₂₎ - нелинейные добавки, учитывающие деформированное состояние стержневой системы при загружении, причем для К₍₁₎ входящие параметры перемещения в первой степени и для К₍₂₎ - во второй.

Соотношение между усилиями в узлах и перемещениями узлов для любого шарнирно-опертого элемента на ступени загружения q (рис. 3.13) в каждой системе координат (х, у, z) имеет в матричной форме следующий вид:

К · δ = S

(3.55)

где δ = {d₁d₂d₃d₄d₅d₆} - вектор перемещения узлов в локальной системе координат.

s = {S₁S₂S₃S₄S₅S₆} - вектор усилий в узлах.

К = К₍₀₎+К₍₁₎+К₍₂₎ - тангенциальная матрица жесткости стержня в локальной системе координат.

Составляющие тангенциальной матрицы жесткости шарнирно опертого элемента имеют следующий вид [50], [84]:

191

K₍₀₎ =

E · A

l

 · 

K11

0

0

K41

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

K11

0

0

K44

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(3.56)

где К₁₁ = К₄₄ = -K₄₁ = l

K₍₁₎ =

E · A

l2

·

	K11	K12	K13	K14	K15	K16
	K21	K22	0	K24	K25	0
	K31	0	K33	K34	0	K36
	K41	K42	K43	K44	K45	K46
	K51	K52	0	K54	K55	0
	K61	0	K63	K64	0	K66

(3.56)

где	K11 = K44 = -K41 = 3 · (d4 - d1) K21 = K54 = -K51 = -K42 = d5 - d2 K31 = K64 = -K61 = -K43 = -K43 = d6 - d3 , K22 = K55 = -K52 = d4 - d1 K33 = K66 = -K63 = d4 - d1

192

K₍₂₎ =

E · A

l3

·

	K11	K12	K13	K14	K15	K16
	K21	K22	K23	K24	K25	K26
	K31	K32	K33	K34	K35	K36
	K41	K42	K43	K44	K45	K46
	K51	K52	K53	K54	K55	K56
	K61	K62	K63	K64	K65	K66

(3.58)

где

K11 = K44 = -K41 = 3 2 · (d4 - d1) + 1 2 · (d5 - d2) + 1 2 · (d6 - d3) K21 = K54 = -K51 = -K42 = (d4 - d1) · (d5 - d2) K31 = K64 = -K61 = -K43 = (d4 - d1) · (d6 - d3) K22 = K55 = -K52 = 1 2 · (d4 - d1) + 3 2 · (d5 - d2) + 1 2 · (d6 - d3) K23 = K56 = -K26 = -K53 = (d5 - d2)· (d6 - d3) K33 = K66 = -K63 = 1 2 · (d4 - d1) + 1 2 · (d5 - d2) + 3 2 · (d6 - d3)

Зависимость между узловой нагрузкой и перемещениями узлов в глобальной системе координат (X,Y,Z) имеет вид

K · δ = S

(3.58)

где	δ = {d1d2d3d4d5d6} S = {S1S2S3S4S5S6} K = K(0) + K(1) + K(2)

Переход от параметров матрицы жесткости, перемещений и усилий в локальной системе координат к соответствующим значениям в глобальной системе координат (рис. 3.14) осуществляется следующим образом

К = Т · К · Т^T

(3.60)

d = T · d

(3.61)

d = T^T · d

(3.62)

S = T^T · S

(3.63)

S = T · S

(3.64)

Здесь Т - матрица направляющих косинусов;

Т^T - транспонированная матрица Т;

d, S - соответственно перемещения узлов и усилия в элементах в глобальной системе координат;

d,S - перемещения узлов и усилия в элементах в локальной системе координат.

Матрица направляющих косинусов может быть записана в виде:

193

T =

	Cx	Cy	Cz	0	0	0
	-Cx · Cly	l1/l	-Cz · Cly	0	0	0
	-Clz	0	Clx	0	0	0
	0	0	0	Cx	Cy	Cz
	0	0	0	-Cx · Cly	l1/l	-Cz · Cly
	0	0	0	-Clz	0	Clx

(3.65)

где C_y =

lx

l

, l_x = X₂ - X₁, C_lx =

lx

l1

,

C_y =

ly

l

, l_y = Y₂ - Y₁, C_ly =

ly

l1

,

C_z =

lz

l

, l_z = Z₂ - Z₁, C_lz =

lz

l1

.

l = √l_x² + l_y² + l_z² , l₁ = √l_x² + l_z².

3.2.1.2. Матрица жесткости изгибаемого стержневого элемента

Для изгибаемого элемента относительная деформация под нагрузкой может быть представлена в виде

ε = u' +

1

2

· (u')² +

1

2

· (w')² + z · w'' + y · v''

(3.66)

где z, у - соответственно координаты точки в сечении стержня относительно осей у и z.

Подставляя значение (3.66) в выражение для энергии деформации можно получить матрицу жесткости (3.4) для изгибаемого элемента по направлениям перемещений согласно рис. 3.15.

194

K₀ =

	K11	0	0	0	0	0	K17	0	0	0	0	0
	0	K22	0	0	0	K26	0	K28	0	0	0	K2,12
	0	0	K33	0	K35	0	0	0	K39	0	K3,11	0
	0	0	0	K44	0	0	0	0	0	K4,10	0	0
	0	0	K53	0	K55	0	0	0	K59	0	K5,11	0
	0	K62	0	0	0	K66	0	K68	0	0	0	K6,12
	K71	0	0	0	0	0	K77	0	0	0	0	0
	0	K82	0	0	0	K86	0	K88	0	0	0	K8,12
	0	0	K93	0	K95	0	0	0	K99	0	K9,11	0
	0	0	0	K10,4	0	0	0	0	0	K10,10	0	0
	0	0	K11,3	0	K11,5	0	0	0	K11,9	0	K11,11	0
	0	K12,2	0	0	0	K12,6	0	K12,8	0	0	0	K12,12

(3.67)

где K₁₁ = K₇₇ = -K₇₁ =

E · A

l

; K₂₂ = K₈₈ = -K₈₂ = 12 ·

E · Iz

l3

;

K₂₆ = K_3,11 = -K_8,12 = 6 ·

E · Iz

l2

; K₃₃ = K₉₉ = -K₉₃ = 12 ·

E · Iy

l3

;

K₃₅ = K_3,11 = -K_9,11 = -6 ·

E · Iy

l2

; K₄₄ = K_10,10 = K_10,4 =

G ·JT

l

;

K₅₅ = K_11,11 = 4 ·

E · Iy

l

; K_5,11 = 2 ·

E · Iy

l

;

K₆₆ = K_12,12 = 4 ·

E · Iy

l

; K_6,12 = 2 ·

E · Iy

l

.

195

Первая нелинейная компонента

K₁ =

	K11	K12	K13	0	K15	K16	K17	K18	K19	0	K1,11	K1,12
	K21	K22	0	0	0	K26	K27	K28	0	0	0	K2,12
	K31	0	K33	0	K35	0	K37	0	K39	0	K3,11	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	K51	0	K53	0	K55	0	K57	0	K59	0	K5,11	0
	K62	K62	0	0	0	K66	K67	K68	0	0	0	K6,12
	K71	K72	K73	0	K75	K76	K77	K78	0	0	0	K7,12
	K81	K82	0	0	0	K86	K87	K88	0	0	0	K8,12
	K91	0	K93	0	K95	0	K97	0	K99	0	K9,11	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	K11,1	0	K11,3	0	K11,5	0	K11,7	0	K11,9	0	K11,11	0
	K12,1	K12,2	0	0	0	K12,6	K11,7	K12,8	0	0	0	K12,12

(3.68)

где K₁₁ = K₇₇ = -K₇₁ = 3 · (d₇ - d₁);

K₂₁ = -K₈₁ = -K₇₂ = K₈₇ =

6

5

· (d₈ - d₂) -

l

10

· (d₆ + d₁₂);

K₃₁ = -K₉₁ = -K₇₃ = K₉₇ =

6

5

· (d₉ - d₃) -

l

10

· (d₅ + d₁₁);

K₅₁ = -K₇₅ = -

l

10

· (d₉ - d₃) -

l2

30

· (4 · d₅ - d₁₁);

K₆₁ = -K₇₆ =

l

10

· (d₈ - d₂) -

l2

30

· (4 · d₆ - d₁₂);

K_11,1 = -K_11,7 = -

l

10

· (d₉ - d₃) -

l2

30

· (4 · d₁₁ - d₅);

K_12,1 = -K_12,7 =

l

10

· (d₈ - d₂) -

l2

30

· (4 · d₁₂ - d₆);

K₂₂ = K₃₃ = K₈₈ = K₉₉ = -K₈₂ = -K₉₃ =

6

5

· (d₇ - d₁);

K₆₂ = K_12,2 = -K₅₃ = -K_11,3 =

l

10

· (d₇ - d₁);

K₉₅ = -K₈₆ = -K_12,8 = K_11,9 =

l

10

· (d₇ - d₁);

K₅₅ = K₆₆ = K_11,11 = K_12,12 =

2 · l2

15

· (d₇ - d₁);

K_11,5 = K_12,5 =

l2

30

· (d⁷ - d¹).

Вторая нелинейная компонента

196

K₂ =

K11

K12

K13

0

K15

K16

K17

K18

K19

0

K1,11

K1,12

K21

K22

K23

0

K25

K26

K27

K28

K29

0

K2,11

K2,12

K31

K32

K33

0

K35

K36

K37

K38

K39

0

K3,11

K3,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

K51

K52

K53

0

K55

K56

K57

K58

K59

0

K5,11

K5,12

K61

K62

K63

0

K65

K66

K67

K68

K69

0

K6,11

K6,12

K71

K72

K73

0

K75

K76

K77

K78

K79

0

K7,11

K7,12

K81

K82

K83

0

K85

K86

K87

K88

K89

0

K8,11

K8,12

K91

K92

K93

0

K95

K96

K97

K98

K99

0

K9,11

K9,12

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

K11,1

K11,2

K11,3

0

K11,5

K11,6

K11,7

K11,8

K11,9

0

K11,11

K11,12

K12,1

K12,2

K12,3

0

K12,5

K12,6

K11,7

K12,8

K12,9

0

K12,11

K12,12

(3.69)

где

K₁₁ = f₁ · [3 · (d₇ - d₁)² +

6

5

· (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) +

2 · l2

15

· (d₆ - d₁₂)²] + f₁ · [

6

5

· (d₃ - d₉)² -

l

5

· (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) +

2 · l2

12

· (d₅ - d₁₁)²];

K₇₇ = -K₇₁ = K₁₁;

K₂₁ = f₁ · [-2 · (d₇ - d₁) · (

6

5

· (d₂ - d₈) +

l

10

· (d₆ + d₁₂))];

K₈₁ = K₇₂ = -K₂₁;

K₃₁ = f₁ · [-2 · (d₇ - d₁) · (

6

5

· (d₃ - d₉) -

l

10

· (d₅ + d₁₁))];

K₉₁ = K₇₃ = -K₃₁;

K₅₁ = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (

l

10

· (d₃ - d₉) -

l2

30

· (4 · d₅ - d₁₁))];

K₇₅ = -K₅₁;

K₆₁ = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (-

l

10

· (d₂ - d₈) -

l2

30

· (4 · d₆ - d₁₂))];

K₇₆ = -K₆₁;

K_11,1 = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (

l

10

· (d₃ - d₉) -

l2

30

· (4 · d₁₁ - d₅))];

K_11,7 = -K_11,1;

K_12,1 = f₁ · [2 · (d₇ - d₁) · (-

l

10

· (d₂ - d₈) -

l2

30

· (4 · d₁₂ - d₆))];

K_12,7 = -K_12,1;

197

K₂₂ = f₂ · [864 · (d₂ - d₈)² + 216 · l · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) + 36 · l² · (d₆² + d1₂²) + 168 · (d₇ - d₁)²] + f₂ · [288 · (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) + 12 · l² · (d₅² + d₁₁²)];

K₈₈ = K₂₂;

K₃₂ = f₂ · [576(d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) - 72 · l · ((d₂ - d₈) · (d₅ + d₁₁) - (d₃ - d₉) · (d₆ + d₁₂)] - f₂ · [24 · l² · (d₅ · d₆ + d₁₁ · d₁₂)];

K₉₂ = K₈₃ = -K₃₂;

K₅₂ = f₂ · [-72 · l · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) + 24 · l² · (d₅ · (d₂ - d₈) - d₆ · (d₃ - d₉)] - f₂ ·[2 · l³ · (d₅ · (d₆ - d₁₂) - d₁₁ · (d₆ + d₁₂))];

K₆₃ = K₈₅ = -K₅₂;

K₆₂ = f₂ · [108 · l · (d₂ - d₈)² + 72 · l² · d₆ · (d₂ - d₈) - 3 · l² · (d₆² - 2 · d₆ ·d₁₂ - d₁₂²) + 28 · l · (d₇ - d₁)²] + f₂ · [36 · l · (d₃ - d₉)² - 24 · l² ·d₅ · (d₃ - d₉) - l³ · (d₅² - 2 · d₅ · d₁₁ - d₁₁²)];

K₈₆ = -K₆₂;

K_11,2 = f₂ · [-72 · l · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) + 24 · l² · (d₁₁ · (d₂ - d₈) - d₁₂ · (d₃ - d₉)] - f₂ · [2 · l³ · (d₁₁ · (d₆ - d₁₂) - d₅ · (d₆ + d₁₂))];

K_12,3 = K_11,8 = -K_11,2;

K₃₃ = f₂ · [864 · (d₃ - d₉)² - 216 · l · (d₃d₉) · (d₅ + d₁₁) + 36 · l² · (d₅² + d₁₁²) + 168 · (d₇ - d₁)²] + f₂ · [288 · (d₂ - d₈)² + 72 · l · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) + 12 · l² · (d₆² + d₁₂²)];

K₉₉ = -K₉₃ = K₃₃;

K₅₃ = f₂ · [-108 · l · (d₃ - d₉)² + 72 · l² · d₅ · (d₃ - d₉) + 3 · l³ · (d₅² - 2 · d₅ · d₁₁ - d₁₁²)] - f₂ · [28 · l · (d₇ - d₁)² - 36 · l · (d₂ - d₈)² - 24 · l² · d₆ · (d₂ - d₈) + l³ · (d₆² - 2 · d₆ · d₁₂ - d₁₂²)];

K₉₅ = -K₅₃;

K_11,3 = f₂ · [-108 · l · (d₃ - d₉)² + 72 · l² · d₁₁ · (d₃ - d₉) + 3 · l³ · (d₅² + 2 · d₅ · d₁₁ - d₁₁²)] - f₂ · [28 · l · (d₇ - d₁)² - 36 · l · (d₂ - d₈)² - 24 · l² · d₁₂ · (d₂ - d₈) - l³ · (d₆² + 2 · d₆ · d₁₂ - d₁₂²)];

K_11,9 = -K_11,3;

K₅₅ = f₂ · [36 · l² · (d₃ - d₉)² + 6 · l³ · (d₃ - d₅) · (d₅ - d₁₁) + 12 · l⁴ · (2 · d₅² -

1

2

· d₅ · d₁₁ +

1

6

· d₁₁²)] + f₂ · [

280 · l2

15

· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₂ - d₈)² - 2 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂) + 4 · l⁴ · (2 · d₆² -

1

2

· d₆ · d₁₂ +

1

6

· d₁₂²)];

198

K₆₅ = f · [-24 · l² · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) - 2 · l³ · ((d₅ - d₁₁) · (d₂ - d₈) - (d₆ - d₁₂) · (d₃ - d₉)] + f · [16 · l⁴ · (d₅ · d₆ -

1

8

· d₆ · d₁₁ -

1

8

· d₅ · d₁₂ +

1

12

· d₁₁ · d₁₂)];

K_11,5 = f₂ · [-6 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) - 3 · l⁴ · (d₅² -

4

3

· d₅ · d₁₁ + d₁₁²) -

280 · l2

30

· (d₇ - d₁_²] + f₂ · [2 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) - l⁴ · (d₆² -

4

3

· d₆ · d₁₂ + d₁₂²)];

K_12,5 = f · [2 · l³ · ((d₂ - d₈) · (d₅ + d₁₁) - (d₃ - d₉) · (d₆ + d₁₂))] - f · [4 · l⁴ · (

1

2

· d₅ · d₆ -

1

3

· d₅ · d₁₂ +

1

2

· d₁₁ · d₁₂)];

K_11,6 = K_12,5;

K₆₆ = f₂ · [36 · l² · (d₂ - d₈) - 6 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂) + 12 · l · (2 · d₆² -

1

2

· d₆ · d₁₂ +

1

6

· d₁₂²)] + f₂ · [

280 · l2

15

· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₃ - d₉) + 2 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ - d₁₁)] + f₂ · [4 · l⁴ · (2 · d₅² -

1

2

· d₅ · d₁₁ +

1

6

· d₁₁²)];

K_12,6 = f₂ · [6 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ + d₁₂) - 3 · l⁴ · (d₆² -

4

3

· d₆ · d₁₂ + d₁₂²) -

280 · l2

30

· (d₇ - d₁)²] - f₂ · [2 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ + d₁₁) - l⁴ · (d₅² -

4

3

· d₅ · d₁₁ + d₁₁²)];

K_11,11 = f · [36 · l² · (d₃ - d₉)² - 6 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ - d₁₁) + 12 · l⁴ · (

1

6

· d₅² -

1

2

· d₅ · d₁₁ + 2 · d₁₁²)] + f · [

280 · l2

15

· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₂ - d₈0² + 2 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂)] + f · [4 · l⁴ · (

1

6

· d₆² -

1

2

· d₆ · d₁₂ + 2 · d₁₂²)];

K_12,11 = f₂ · [-24 · l² · (d₂ - d₈) · (d₃ - d₉) + 2 · l³ · ((d₂ - d₈) · (d₅ - d₁₁) - (d₃ - d₉) · (d₆ - d₁₂))] + f₂ · [16 · l⁴ · (

1

12

· d₅ · d₆ -

1

8

· d₆ · d₁₁ -

1

8

· d₅ · d₁₂ + d₁₁ · d₁₂)];

K_12,12 = f₂ · [36 · l² ·(d₂ - d₈)² + 6 · l³ · (d₂ - d₈) · (d₆ - d₁₂) + 12 · l⁴ · (

1

6

· d₆² -

1

2

· d₆ · d₁₂ + 2 · d₁₂²)] + f₂ · [

280 · l2

15

· (d₇ - d₁)² + 12 · l² · (d₃ - d₉)² - 2 · l³ · (d₃ - d₉) · (d₅ - d₁₁)] + f₂ ·[4 · l⁴ · (

1

6

· d₅² -

1

2

· d₅ · d₁₁ + 2 · d₁₁²)];

f₁ =

E · A

2 · l3

;   f₂ =

E · A

280 · l3

199

Для изгибаемых элементов матрица направляющих косинусов имеет вид

T_12x12=

	T1
	0
	0
	0

0

T1

0

0

0

0

T1

0

0
0
0
T1

(3.70)

где

T₁ =

	cx
	t1/l2
	tyz/l3

cy

t2/l2

txz/l3

cz
t3/l2
txy/l3

(3.71)

здесь l₂ = √t₁² + t₂² + t₃²; l₃ = √t_xy² + t_yz² + t_xz²;

t_xy =

1

2

· (X_i · (Y_g - X_k) - Y_i · (X_g - X_k) + X_g · Y_k - Y_g · X_k);

t_yz =

1

2

· (Y_i · (Z_g - Z_k) - Z_i · (Y_g - Y_k) + Y_g · Z_k - Z_g · Y_k);

t_xz =

1

2

· (Z_i · (X_g - X_k) - X_i · (Z_g - Z_k) + Z_g · X_k - X_g · Z_k) .

	t1
	t2
	t3

=

	1 - Cx2
	-Cx · Cy
	-Cx · Cz

   

-Cx · Cy

1 - Cy2

-Cy · Cz

   

-Cx · Cz
-Cy · Cz
1 - Cz2

×

	Xk - Xi
	Yk - Yi
	Zk - Zi

200