Инженерная геодезия

27.3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРАССЫ ТОННЕЛЯ

Для вынесения проекта тоннеля в натуру необходимо знать координаты всех пикетов трассы и точек кривых.

На прямых участках приращения координат между пикетами вычисляют по известным формулам

∆_xi = dcosα_i; ∆_yi = dsinα_i,(27.4)

где d - проектное расстояние между пикетами, обычно равное 100000 мм; α_i - дирекционный угол прямых участков, определяемый через углы поворота трассы

α_i+1 = α_i + θ_п = α_i - θ_л,(27.5)

где θ_п и θ_л - соответственно углы поворота трассы вправо и влево.

Координаты пикетов, расположенных на круговой кривой, можно вычислить или через центральные углы и длины радиусов от координат центра кривой, или по стягивающим хордам и углам между ними.

Центральные углы определяют по формулам

γ₁ =

k1

R

  ρ; γ_П =

kП

R

  ρ; γ_НП =

kНП

R

  ρ; γ² =

k2

R

  ρ,(27.6)

где γ₁ - центральный угол (рис. 27.5) при точке О между радиусами, проведенными через точку НКК и первый пикет, лежащий на кривой; γ₂ - центральный угол между радиусами, проведенными через последний пикет, лежащий на кривой, и точку ККК; γ_П - центральный угол, соответствующий нормальному пикету; γ_НП - центральный угол, соответствующий неправильному пикету;

413

k₁, k₂, k_П и k_НП дуг, соответствующие центральным углам γ₁ γ₂, γ_П, γ_НП.

Вычисленные значения центральных углов проверяют по формуле:

γ₁ + nγ_П + γ_НП + γ₂ = θ,(27.7)

где n - число нормальных пикетов; θ - угол поворота трассы.

Аналогичному равенству должны удовлетворять длины круговых кривых, используемых для вычисления центральных углов, т. е.

k₁ + nk_П + k_НП + k² = K,(27.8)

где К - длина всей круговой кривой.

Координаты центра кривой от точек начала круговой кривой вычисляют по формулам

х_O = x_НКК + Rcos(α_T1 + 90°); y_O = y_НКК + Rsin(α_T1 + 90°),(27.9)

где (α_T1 - дирекционный угол первого тангенса. Дирекционные углы направлений на пикеты кривой из центра О определяют от известного дирекционного угла линии О - НКК, равного (α_T1), путем прибавления соответствующего центрального угла γ. По этим дирекционным углам и принятому радиусу находят приращения координат относительно центра кривой

∆_xi = Rcos(α_T1 + 270° + γ_i); ∆_yi = Rsin(α_T1 + 270° + γ_i).(27.10)

Для вычисления координат по стягивающим хордам кривой необходимо знать дирекционные углы и длины этих хорд.

Дирекционные углы хорд определяют от исходных дирекционных углов линий тангенсов α_T1 и α_T2 по значениям углов поворота хорд, вычисляемых из равнобедренных треугольников, которые образованы радиусами и стягивающими хордами. Например, для приведенной схемы расчета (см. рис. 27.5) получим:

414

Точки	углы поворота
НКК	180° - γ1 2
ПК2	180° - γ2 2   - γП 2
ПК3	180° - γП 2   - γНП 2
ПК4	180° - γНП 2   - γ2 2   .
ККК	180° - γ2 2

Длины хорд b_i, определяют из равнобедренных треугольников по значениям кривых k_i и центральных углов γ_i (рис. 27.6):

bi

2

  = Rsin

γi

2

  .(27.11)

Следовательно,

b_i = 2Rsin

γi

2

  .(27.12)

Контроль вычислений длин хорд может быть проведен по формуле

b_i = k_i -

ki3

24R2

  .(27.13)

Для дальнейших вычислений необходимо получить координаты точек начал переходных кривых (НПК). Исходными данными для этого расчета служат координаты начала (НКК) и конца круговой кривой (ККК), а также дирекционные углы прямых участков трассы, примыкающих к круговой кривой (рис. 27.7).

Расстояние между началом переходной кривой и началом или концом круговой кривой определяют по следующей формуле:

t₁ =

l

2

  +

l5

60c2

  .(27.14)

Для контроля вычисляют и значение t₂:

t₂ =

l

2

  +

l5

24c2

 (27.15)

415

Величины l и с берут с проектного чертежа. Координаты концов переходных кривых вычисляют двумя способами: через центральный угол φ или через абсциссу x_l и ординату y_l.

Угол поворота φ переходной кривой вычисляют по формуле

φ =

l2

2c

  ρ.(27.16)

Расстояние между центром О круговой кривой и концом переходной кривой является радиусом оси пути, т. е. R_пут = R - p, где смещение р вычисляется по формуле (27.1).

При вычислении координат концов переходных кривых через угол φ за исходные принимают координаты начала (НКК) и конца круговой кривой (ККК), а также дирекционные углы радиусов, соединяющих эти точки с центром круговой кривой.

При вычислении координат конца переходной кривой по абсциссе x_l и ординате y_l за начало координат принимают точку начала переходной кривой (НПК), а за ось x - линию тангенсов.

Величины х_l и y_l вычисляют по формулам

x_l = l -

l5

40c2

  ; y_l =

l3

6c

  .(27.17)

Контролем вычисления значений x_l служит выражение: t₁ + t₂ = x_l.

Координаты концов переходных кривых и пикетов вычисляют

как на оси пути, так и на оси тоннеля, при этом величины радиусов

416

соответственно должны быть равны R_пут = R - p, R_т = R - (p + q), где R_пут - радиус круговой кривой на оси пути; R_т - то же, на оси тоннеля; р и q - смещения осей, вычисленные по формулам (27.1) и (27.2).

Перенесение в натуру оси тоннеля на круговых кривых выполняют по ломаному контуру, состоящему из прямых линий, находящихся под некоторым углом друг к другу. В качестве прямых линий выбирают или хорды, или секущие. Чем больше длины хорд или секущих, тем меньшее их число уложится на разбиваемой в натуре кривой. Однако при этом увеличивается стрелка прогиба/), которая для хорды вычисляется по формуле

f₀ =

k2b

8R

  ,(27.18)

где k_b - длина круговой кривой, стягиваемая хордой b.

В то же время, уменьшение числа хорд или секущих приводит к сокращению объема разбивочных работ.

На практике для уменьшения объема разбивочных работ круговые кривые целесообразно переносить в натуру на оси тоннеля и на оси пути по секущим. Поэтому рассмотрим метод определения координат концов хорд на оси тоннеля.

Из формулы (27.18) можно определить длину кривой, стягиваемой хордой, при которой стрелка прогиба не превышает величины k_b = √8Rf_max. Для вычисления приближенной длины хорды b’ можно принять ее длину равной длине опирающейся на нее кривой, тогда

b’ = √8Rf_max.(27.19)

При выносе в натуру круговой кривой по хордам необходимо вычислить координаты концов хорд. Это можно сделать двумя путями: равными хордами, так чтобы в пределах разбиваемой кривой они имели одинаковую длину с точностью до 1 мм, или хордами, длины которых выражены целым числом метров с последней хордой (остатком), имеющей длину, вычисленную до 1 мм.

При условии равенства длин хорд в пределах круговой кривой на оси тоннеля (между концами переходных кривых) определяют приближенную их длину. Затем, пользуясь приближенной длиной хорды, подсчитывают их приближенное число n’ = K_т/b’. Длина кривой на оси тоннеля выражается формулой

K_т =

θтRт

ρ

  ,(27.20)

где θ_т = θ - 2φ; R_т = R - (p + q).

Далее устанавливают целое число хорд. Чтобы максимальное значение стрелки прогиба не превышало принятой величины, которая

417

чаще всего характеризуется величиной габаритного запаса (для тоннелей на путях сообщения принимается равным 100 мм), полученное значение п' округляют до ближайшего целого числа.

Затем вычисляют длину кривой, соответствующую длине принятой хорды, по формуле k_b =

Kт

n

  . Зная длину кривой k_b, вычисляют центральные углы γ_b и длину стягивающей хорды b по формулам γ_b =

kb

Kт

  ρ; b = 2R_тsin (

γb

2

  ).(27.21)

Координаты концов хорд находят по замкнутому ходу, состоящему из хорд и радиусов R_т, которые соединяют центр кривой О и концы переходных кривых, расположенных на оси тоннеля (рис. 27.8). При этом угол поворота между радиусом и первой хордой, а также угол поворота между последней хордой и радиусом равны (90° -

γb

2

  ). Тогда углы поворота, обращенные к центру кривой, между последующими хордами равны 180° - γ_b.

418