Нормативный метод определения сейсмических нагрузок опирается на использование понятия спектральных кривых, введенных ранее для линейного осциллятора. Прежде чем приступить к изложению этого метода, необходимо оговорить следующее.
Во-первых, по традиции, берущей начало в самых первых работах по сейсмическим расчетам (а затем и вошедшей и в нормативные документы), следует изменить индексацию амплитудных коэффициентов формы колебаний: теперь первый индекс будет обозначать номер формы колебаний, а второй - номер сосредоточенной массы.
Во-вторых, предполагается, что учет сил сопротивления при определении частот и форм собственных колебаний системы с п степенями свободы не оказывает существенного влияния на результаты расчета, и поэтому данные параметры могут быть определены как для консервативной системы.
Вместе с тем учет сил сопротивления необходим при построении спектров ускорений (скоростей, смещений), так как в спектральной теории
40
предполагается определение максимальных значений этих параметров по каждой форме колебаний, а эти максимумы достигаются, как известно, в резонансной зоне, где учет сил сопротивления играет решающую роль.
Если следовать гипотезе неупругого сопротивления Е.С. Сорокина, то уравнения движения (2.38), (2.39) должны быть записаны в комплексной форме:
MX..→* + (1 + γi )KX→* + Ф→ = - MΔ..→*,(2.38,а)LMX..→* + (1 + γi )X→* + LФ→ = - LMΔ..→*(2.39,а)
Здесь звездочками отмечены комплексные функции; i- мнимая единица
При использовании метода разложений по собственным формам колебаний теперь вместо уравнений (2.57) имеем:
q..*i + (1 + γ i )ωi2qi* = -(Qi* / Mi)(2.58)
Заметим, что выражению (Qi* / Mi) можно придать другую форму, используемую в нормативном методе. С учетом формул (2.51) и (2.55) имеем:
| Qi | = Δ..(t) | j=1∑n mj Xij | = Di Δ..(t) |
| Mi | j=1∑nmj X2ij |
(2.59)
где Diпредставляют собой коэффициенты разложения единичного вектора по собственным векторам системы (собственным формам колебаний).
С учетом этого решение уравнения (2.58) при нулевых начальных условиях (действительная часть комплексной функции), определяющее обобщенную координату qi, отвечающую i-ой форме колебаний по аналогии с (2.27) может быть записано в виде
| qi = - | Di | t∫0 Δ..(τ)e sin ωi (t - τ) d τ |
| ωi |
(2.60)
Один из основных недостатков теории неупругого сопротивления Сорокина состоит в неудобстве использования комплексных функций при численном интегрировании уравнений движения (2.58). Поэтому в этом случае чаще прибегают к гипотезе вязкого сопротивления с соответствующим образом введенной матрицей демпфирования, определяющей вектор сил сопротивления.
Ф→ = ÑX.→.(2.61)
Обращаясь к предыдущему пункту, нетрудно заметить, что распадение связанной системы уравнений движения (2.38) на отдельные уравнения
41
(2.58) стало возможным только лишь вследствие того, что матрица масс и матрица жесткости приводится к диагональному виду с помощью одного и того же преобразования.
Следовательно, для того, чтобы и матрица демпфирования тоже приводилась к диагональному виду достаточно, как это было указано Рэлеем, представить ее в виде линейной комбинации этих матриц
C = β1K + β1M(2.62)
Действительно, в этом случае уравнения движения записываются в виде
M X..→ + (β1K + β1M)X.→ + KX→ = - MΔ..−(2.63)
и производя преобразования, описанные выше, получаем:
q..i + (β1ωi2 + β2)q.i + ωi2qi = - DiΔ..(2.64)
Коэффициенты матрицы демпфирования Рэлея (2.62) подбираются из условия, чтобы для двух характерных форм колебаний с частотами ωi и ωj и известными коэффициентами сопротивления выполнялись условия равенства быстроты затухания колебаний:
2αi = β1ωi2 + β2 = γiωi
2αj = β1ωj2 + β2 = γjωj(2.65)
Если следовать теории неупругого сопротивления, то γi=γj Вместе с тем выражения (2.65) приближенно учитывают суммарный эффект демпфирования для каждой формы колебаний, который может быть различным для различных форм [18].
Теперь с учетом введенных обозначений решение уравнений (2.64) для i- ой обобщенной координаты qi, соответствующее i-ой форме собственных колебаний при нулевых начальных условиях может быть записано в виде:
| qi(t) = - | Di | 0∫t Δ..(τ)eαi(t - τ) sin ωi (t - τ) dτ |
| ωi |
(2.66)
где α i = γωi/2
Зная амплитудные коэффициенты i-ой формы и соответствующие обобщенные координаты, в соответствии с (2.42) относительное перемещение K-ой массы можно представить в следующем виде:
| Xko(t) = i=1∑n Xikqi = - i=1∑n | Di Xik | 0∫tΔ..(τ)e-αi(t - τ)sin ωi(t - τ) dτ |
| ωi |
(2.67)42
Полное перемещение K-ой массы с учетом введенных выше коэффициентов D i определяется следующим образом:
| Xk(t)= | i=1∑n | Xik[qi(t)+DiΔ(t)] |
(2.68)
Тогда ускорение K-ой массы будут равны
| Wk(t) = X..k(t) = | i=1∑ | Xik[q..i(t)+DiΔ..(t)] |
(2.69)
Теперь можно вычислить инерционную (сейсмическую) силу, действующую на k-ую массу при колебаниях по i-ой форме
Sik(t)= - mkXik[q..i(t) + DiΔ..(t)](2.70)
Формула (2.70), являющаяся точной в рамках используемого подхода, оказывается весьма неудобной для практического использования, хотя бы потому, что требует двойного дифференцирования функций qi(t) (2.66) и содержит Δ..(t) в качестве слагаемого.
В связи с этим применяется следующий прием. Обращаясь к уравнению (2.64) и полагая γ<< 1, имеем:
q..i(t)= - DiΔ..(t) - ωi2qi(t) (2.71)
Подставляя (2.71) в (2.70), получаем
Sik(t)= mkXik[q..i(t) + DiΔ..(t)] (2.72)
или с учетом (2.66)
| Sik(t)= - mkXikDiωi | 0∫t | Δ..(τ)e-αi(t-τ)sinωi(T-τ)Dτ |
(2.73)
Сопоставляя теперь формулу (2.73) с выражением (2.32), нетрудно получить выражения для максимального значения Sik
(2.74)
Введем коэффициент ηik определяемый выражением
| ηik = Xik Dik = | Xik j=1∑n mjXij |
| j=1∑n mj X2ij |
(2.75)43
Для установления физического смысла коэффициента ηik, просуммируем эти коэффициенты по всем формам
| i=1∑n ηik = i=1∑n = | Xik j=1∑n mjXij | = 1. |
| j=1∑n mj X2ij |
(2.76)
Таким образом, коэффициент ηik можно трактовать как коэффициент, определяющий вклад смещения K-ой массы, происходящий по i-ой форме колебаний, в суммарное смещение. Поэтому этот коэффициент можно определить как коэффициент формы колебаний. Заметим, что в силу свойства, определяемого выражением (2.76), для коэффициентов ηik применяется термин: нормированные коэффициенты формы колебаний.
Возвращаясь к выражению (2.74), запишем его в виде
(2.77)
Из сопоставления выражений (2.77) и (2.32) легко усматривается, что сейсмические силы, соответствующие i-ой форме собственных колебаний многомассовой расчетной схемы (рис. 2.9), и сейсмические силы, возникающие в линейном осцилляторе, отличаются лишь наличием коэффициента ηik< 1. В связи с этим, учитывая изложенное в п. 2.4, выражение (2.77) можно привести к виду
Sik = KCβiηikQk.(2.78)
Тогда буквально повторяя все сказанное выше в п. 2.4, приходим к выражению
Sik= K1K2S0ik(2.79)
где
S0ik=Q kAβ iKψηik(2.80)
Коэффициенты K1, K2, Kψ и A были определены ранее в п. 2.4.
Формулы (2.79) и (2.80) являются основными расчетными формулами нормативного метода расчета зданий и сооружений на сейсмические воздействия, основанного на применении спектральной теории сейсмостойкости.
Остается отметить, что согласно СНиП II-7-81 при вычислении коэффициентов ηik для зданий высотой до 5 этажей с незначительно изменяющимися по высоте массами и жесткостями, что характерно для жилых
44
зданий, при Ti менее 0.4 сек, т.е. в зоне графиков спектральных кривых, (рис. 2.7), где βi = const, коэффициенты ηk допустимо вычислять по упрощенной формуле
| ηk = | Xk j=1∑n QjXj |
| j=1∑n Qj X2j |
(2.81)
Здесь Xj- расстояние от заделки до сосредоточенной j-ой массы (рис. 2.8).
45