Исследованию свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы здесь уделено особое внимание по следующим двум причинам.
Во-первых, любой сейсмический расчет полезно предварить определением спектра частот и форм собственных колебаний конструкции для глобальной оценки её поведения, а также для подбора соответствующих акселерограмм землетрясений, вызывающих наиболее неблагоприятные последствия.
Во-вторых, подробный анализ собственных колебаний позволит затем легко получить разрешающие уравнения метода модальной суперпозиции, лежащей в основе данной программы МКЭ.
Для исследования свободных колебаний применяем уравнения движения, следующие из (4.3) при С = 0 и Р→ = 0:
М Z..→ + КZ→ = 0.(4.6)
Будем исходить из того, что свободные колебания системы с конечным числом степеней свободы п являются гармоническими:
Z→(t) = i=1∑n V→ sin(ωit+φ0i), (i=1, 2,..., n)
(4.7)
где параметр ωi определяет частоту колебаний, а φ0i - начальную фазу колебаний.
Подставляя (4.7) в (4.6), после сокращения на sin(ωit+φ0i) получаем
(K - ωi2M)V→i.(4.8)65
Выражение (4.8) описывает п систем однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных векторов V→i. Векторы V→i составляют матрицу V:
V = |V→1 V→2 ... V→n| = | V11 | V12 | . . . | V1n |
| V21 | V22 | . . . | V2n |
| . . . | . . . | ... | . . . |
| Vn1 | Vn2 | . . . | Vnn |
(4.9)
Условием существования нетривиального решения системы уравнений (4.8), как известно, является условие:
det|K - ωi2M| = 0(4.10)
Раскрывая определитель (4.10), получаем алгебраическое уравнение n-ой степени относительно ωi2, решение которого дает спектр частот собственных колебаний системы: ω12,ω12,...,ωn2.
Затем для каждой собственной частоты колебаний из решения системы уравнений (4.8) при V1i =1 определяются формы собственных колебаний
V→i = |1 V2i V3i Vni|
Этот подход достаточно хорошо известен из курса динамики сооружений и был использован выше в примерах решения задач.
В программе "RADIUS" для решения задачи на собственные значения использован метод обратной итерации в сочетании с методом "ловли льва в пустыне", подробно описанный в пособии [25].
Рассмотрим i-ую форму собственных колебаний, в которой по определению (4.7) вектор перемещений имеет следующий вид:
Z→i =V→isin(ωi(t)-φ0i). (4.11)
Тогда амплитудные значения вектора перемещений Z→ и вектора инерционных сил J→i будут определяться следующими выражениями
Z→i = V→i;J→i = ωi2MV→i(4.12)
Для j-ой формы соответственно будем иметь:
Z→j = V→j;J→j = ωj2MV→j(4.13)
Рассматривая эти состояния как взаимно возможные, применим теорему Бетти:
J→iT V→j = J→jTV→i(4.14)
Заменяя в (4.14) инерционные силы по (4.12) и (4.13), получаем
ωi2V→iTMTV→j = ωj2V→jTMTV→i(4.15)66
Учитывая, что для симметричной матрицы масс М = МT , а также, что произведение V→jTMT V→i является скаляром, выражение для которого равно своему транспонированному выражению, запишем
V→jTMT V→i = (V→jTMT V→i)T = V→iTMV→j
На основании этого равенство (4.15) запишем в виде
(ωi2 - j2)V→iTMT V→j = 0(4.15,a)
Поскольку ωi≠ωj (случай частных корней исключается), из (4.15,а) следует условие
V→iTMT V→j = 0(4.16)которое назовем первым условием обобщенной ортогональности собственных форм колебаний. В частности, если матрица масс М является диагональной, выражение (4.16) может быть записано в виде выражения (2.41):
k=1∑nmkVkiVkj = 0(4.16)
Запишем теперь (4.8) в виде
KV→i = ωi2M V→i(4.17)
Умножая слева это равенство на вектор V→jT, получаем
V→jTKV→i = ωi2V→jTMV →i(4.18)
Учитывая, что
V→jTMV→i = V→iTKV→j
из (4.18) получаем второе условие обобщенной ортогональности собственных форм колебаний:
V→jTKV→i = V→iTKV→j = 0(4.19)
Физический смысл полученных выше условий ортогональности легко понять, если вспомнить, что уравнение (4.6) устанавливает равенство внешних и внутренних сил. Тогда первое условие обобщенной ортогональности (4.16) выражает равенство нулю возможной работы внешних (инерционных) сил, возникающих при i-ой форме колебаний на перемещениях j-ой формы, а условие (4.19) есть равенство нулю возможной работы внутренних сил (сил упругости), возникающих при i-ой форме колебаний на перемещениях j-ой формы.
67