Глава IV
Способ проективных преобразований дает возможность значительно облегчить решение позиционных задач, в которых участвуют фигуры, ограниченные поверхностями второго порядка.
При этом решение задач упрощается потому, что, используя свойства проективных (коллинеарных) соответствий, можно преобразовать кривую линию или поверхность второго порядка в более простые кривые линии или поверхности.
В примерах и задачах, приведенных в предыдущей главе, были показаны различные способы преобразования гиперболы, параболы, эллипса в окружность, поверхности с эллиптическими направляющими в поверхности вращения.
Но при всех этих преобразованиях кривые линии оставались кривыми, поверхности с криволинейными образующими преобразовывались в поверхности также с криволинейными образующими.
Последнее обстоятельство значительно суживает круг задач, применительно к которым метод проективных преобразований дает хорошие результаты, в смысле упрощения решения.
В частности, для облегчения решения задач по определению линий пересечения тел, ограниченных произвольными поверхностями, метод проективных преобразований применить невозможно.
Это объясняется тем, что ни гомология, ни тем более аффинитет не позволяют осуществить преобразования кривой линии в прямую, а следовательно, поверхности с криволинейными образующими в поверхность, имеющую прямолинейные образующие.
Для расширения круга задач, решение которых можно упростить с помощью пространственных преобразований, необходимо использовать более гибкие топологические преобразования.
Топология допускает преобразование с произвольным искажением формы фигуры. При этом, в отличие от ранее рассмотренных способов, при топологических преобразованиях мы имеем возможность любую кривую линию (поверхность) преобразовать в соответствующую
113
ей кривую или даже прямую линию (поверхность), т.е. топологические преобразования обладают большей деформативностью, а это обеспечивает возможность использовать их при решении задач в тех случаях, когда остальные способы применить нельзя.
Работы в области создания и развития способа топологических преобразований для решения задач начертательной геометрии, проведенные в нашей стране Н.К. Грушицкой, И.М. Халдеевым и, в особенности, Н.А. Малаховым, позволяют рекомендовать этот способ для практического использования.
Сущность способа топологических преобразований состоит в том, что произвольную геометрическую фигуру преобразовывают (деформируют) в любую другую, по форме наиболее удобную для решения данной конкретной задачи.
Задачу решают на преобразованном виде фигуры, а затем полученный результат переносят на исходные проекции.
114