Высшая математика. Том 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

§ 14. Линейно независимая система векторов

Зададим в R_n (действительном или комплексном) систему из k векторов

a^s = (a_s1, a_s2, …, a_sn) (s = 1, …, k) (1)

По определению система (1) линейно независима, если из векторного равенства

λ₁a¹ + λ₂a² + ... + λ_ka^k = 0, (2)

105

где λ₁, λ₂, ..., λ_k - числа (соответственно действительные или комплексные), следует, что

λ₁, = λ₂ = ... = λ_k = 0.

Система векторов (1) называется линейно зависимой, если существуют числа λ₁, λ₂, … , λ_k, одновременно не равные нулю, для которых выполняется равенство (2). Если для определенности считать, что λ_k ≠ 0, то из (2) следует, что

а^k = μ₁a¹ + ... + μ_k-1а^k-1, (3)

где

μ₁ = -

λ1

λk

 , …, μ_k-1 -

λk-1

λk

 

Таким образом, если система из k векторов линейно зависима, то один из них есть, как говорят, линейная комбинация остальных, или, как еще говорят, зависит от остальных.

Так как все время будет идти речь о линейной зависимости, то термин линейный будем позволять себе иногда опускать. Будем также говорить зависимые или независимые векторы вместо зависимая или независимая система векторов.

Один вектор а¹ тоже образует систему - линейно независимую, если а¹ ≠ 0, и зависимую, если а¹ = 0.

Если система векторов а¹, ..., а^k линейно независима, то любая часть этой системы а¹, ..., a^s (s< k) тем более линейно независима. Иначе нашлась бы нетривиальная система чисел λ₁, ..., λ_s, для которой выполнялось бы

λ₁а¹ + ... + λ_sa^s = 0,

но тогда для системы λ₁, ..., λ_s, , которая тоже нетривиальна, имело бы место

λ₁a¹ + ... + λ_sa^s + 0 ∙ a^s+1 + ... + 0 ∙ а_k = 0.

106

Из сказанного следует, что если система векторов а¹, ..., а^s линейно зависима, то любая пополненная система

а¹, . . . , а^s, a_s+l, . . . , а^k

обладает тем же свойством. В частности, система векторов, содержащая в себе нулевой вектор, всегда линейно зависима.

Составим матрицу, определяемую векторами системы (1):

Теорема 1. Если ранг А = k, т. е. ранг А равен числу векторов, то система (1) линейно независима.

Если же ранг А < k, то система (1) линейно зависима.

Пример 1. Два вектора а¹ = (а₁₁, а₁₂), а² = (а₂₁, а₂₂) в действительном пространстве R₂ образуют линейно независимую систему, если определитель

потому что векторное уравнение

λ₁а¹ + λ₂а² = 0 (4)

эквивалентно двум уравнениям для соответствующих компонент

Но если Δ ≠ 0, то система (5) имеет единственное тривиальное решение

λ₁ = λ₂ (6)

107

Если же Δ = 0, то уравнениям (5) удовлетворяет некоторая нетривиальная система (λ₁, λ₂), т. е. при Δ = 0 система векторов а¹, а² линейно зависима.

Очевидно, сказать, что в действительном пространстве R₂ векторы а¹ и а² коллинеарны или линейно зависимы - это все равно. Но тогда сказать, что векторы а¹ и а² не коллинеарны или линейно независимы - это тоже все равно.

Пример 2. Система векторов а¹, а², ..., а^k (k ≥ 3) в действительном пространстве R₂ всегда линейно зависима. Геометрически это ясно из рис. 33: если с - произвольный вектор и a, b - неколлинеарные векторы, то всегда можно указать такие числа λ, μ, что

с = λа + μb.

Это показывает, что система а, b, с линейно зависима. Если же а и b - коллинеарные векторы, то они линейно зависимы. Тем более линейно зависимы а, b, с.

По теореме 1, чтобы исследовать пару векторов a¹, а², мы должны записать матрицу из их координат

В данном случае k = 2.

• а) Если ранг А = 1 < 2 = k, то теорема утверждает, что векторы a¹, а² линейно зависимы.
• б) Если же ранг А = 2 = k, то векторы а¹, а² линейно независимы.

Это совпадает с приведенными выводами, потому что в случае а) Δ = 0 и б) Δ ≠ 0.

Тот факт, что три произвольных вектора а¹, а², a³ в R₂ линейно зависимы, тоже предусмотрен теоремой - ведь

ранг А ≤ 2 < 3 = k.

108

Пример 3. В трехмерном действительном пространстве R₃ два вектора

а¹ = (а₁₁, а₁₂, а₁₃), а² = (а₂₁, а₂₂, а₂₃)

линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

В самом деле, пусть а¹, а² коллинеарны. Если один из данных векторов нулевой, то они линейно зависимы. Если же а¹ и а² коллинеарны и не нулевые, то

а¹ = λа²,

где λ - некоторое число. Последнее означает, что а¹, а² линейно зависимы.

Обратно, если a¹, а² линейно зависимы, то один из них зависит от другого, например

а² = μа¹,

т. е. векторы коллинеарны.

Если в этом случае рассмотреть матрицу

то элементы строк матрицы пропорциональны, и поэтому

ранг А = 1 < 2 = k,

т. е. наше утверждение согласуется с теоремой 1.

Пример 4. Рассмотрим теперь три вектора в R3:

а¹ = (а₁₁, а₁₂, а₁₃),
а² = (а₂₁, а₂₂, а₂₃),
а³ = (а₃₁, а₃₂, а₃₃).

Пусть

109

Векторному уравнению

λ₁a¹ + λ₂a² + λ₃а³ = 0 (7)

эквивалентна система из трех уравнений

(7’)

Если Δ ≠ 0, то система (7') имеет единственное тривиальное решение λ₁ = λ₂ = λ³ = 0. Но тогда и уравнение (7) имеет единственное тривиальное решение и система векторов а¹, а², а³ линейно независима.

Если Δ = 0, то система (7'), следовательно, и уравнение (7) имеют нетривиальное решение (λ₁, λ₂, λ₃). Но тогда система векторов (a¹, а², a³) линейно зависима. Но здесь можно различать детали:

1) Пусть ранг А = 1, где

Тогда по крайней мере одна из строк А, пусть для определенности первая, имеет хотя бы один элемент, не равный нулю. Рассмотрим матрицу

(8)

Она имеет ранг 1, поэтому все порождаемые ею определители второго порядка равны нулю

110

Но тогда, очевидно, компоненты векторов а¹ и а² пропорциональны

a21

a11

  =

a22

a12

  =

a23

a13

  = λ,

т. е.

a₂₁ = a₁₁ λ, a₂₂ = a₁₂λ, a₂₃ = a₁₃λ

или

а² = λа¹

Аналогично, учитывая, что в матрице

тоже все определители второго порядка равны нулю, получим, что

а³ = μa¹,

где μ - некоторое число. Таким образом, в этом случае векторы а¹, а², а³ коллинеарны.

2) Пусть теперь ранг А = 2. Тогда одна из матриц, состоящих из двух строк матрицы А, имеет ранг 2. Пусть для определенности это есть матрица А' (см. (8)). На основании примера 3 векторы а¹ и а² линейно независимы. Но система а¹, а², а³ зависима, т. е. для некоторой нетривиальной тройки чисел (λ₁, λ₂, λ₃)

λ₁а¹ + λ₂а² + λ₃а³ = 0. (9)

Здесь λ₃ ≠ 0, потому что иначе λ₁а¹ + λ₂а² = 0, и в силу независимости системы а¹, а² было бы λ₁ = λ₂ = 0. Но тогда равенство (9) можно разрешить относительно а³:

a³ = μ₁a¹ + μ₂a², μ₁ = -

λ1

λ3

 , μ₂ = -

λ2

λ3

 

111

Таким образом, если Δ = 0, а ранг А' - 2 (см. (8)), то векторы а¹ и а² неколлинеарны, а вектор а³ принадлежит к плоскости этих векторов.

Приведенные рассуждения не противоречат теореме 1. В самом деле, если Δ ≠ 0, то ранг А = 3 = k и по теореме 1 система векторов a¹, а², а³ линейно независима. Если же Δ = 0, то ранг А< 3 и система векторов а¹, а², а³ линейно зависима.

Доказательство теоремы 1. Векторное равенство (2) эквивалентно следующим п уравнениям для компонент векторов:

(2')

Пусть ранг А = k. Тогда, очевидно, k ≤ п. Существует не равный нулю определитель k-го порядка, порождаемый матрицей А. Не ограничивая общности, можно считать, что это определитель из коэффициентов первых k уравнений системы (2'):

(10)

Так как однородная система (10) имеет определитель, отличный от нуля, то она имеет только тривиальное решение:

112

λ₁ = λ₂ = ... = λ_k = 0,

и система векторов (1) линейно независима. Утверждение теоремы в этом случае доказано.

Пусть теперь ранг А = s < k. Перенумеруем переменные λ₁ и коэффициенты а_ij системы (2') так, чтобы

Тогда систему первых s уравнений можно записать так:

Если положить λ_s+1 = ... = λ_k = 1, то данную систему можно решить относительно λ₁, ..., λ_s. В результате получим нетривиальное решение

λ₁, ..., λ_k (11)

первых s уравнений (2'). Теперь мы можем присоединить к этим s уравнениям любые другие k - s уравнений (2'), и полученная система все равно будет иметь найденную нетривиальную систему в качестве решения. Чтобы объяснить это утверждение, запишем формально систему (2') следующим образом:

(2')

Матрица из коэффициентов полученных уравнений все равно имеет ранг s, так же как и расширенная (справа нулями!) матрица. Первые s уравнений системы (2') удовлетворяются найденными числами λ₁, ..., λ_k (см. (11)) и произвольными числами λ₁, ..., λ_n. На основании утверждения 2) § 4 (правила

113

решения систем) числа λ₁, ..., λ_п удовлетворяют и остальным уравнениям системы (2'), т. е. числа λ₁ ..., λ_k (не все равные нулю) удовлетворяют остальным уравнениям системы (2').

Таким образом, векторы a¹, ..., а^k линейно зависимы, и теорема доказана и в этом случае.

114