Высшая математика. Том 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

§ 15. Линейные операторы

Зададим произвольную квадратную матрицу

(1)

Матрицу А можно рассматривать как оператор, приводящий в соответствие каждому вектору х = (х₁, ..., х_п) ∈ R_n вектор у = (y₁, ..., у_п) ∈ R_n, компоненты которого вычисляются по формулам

(2)

или, короче,

y_i =

n

∑

j=1

  a_ij x_j (i = 1, …, n) (2’)

Говорят, что i-я координата вектора у записывается с помощью i-й строки А. Этот оператор коротко будем записывать так:

у = Ах (х, у ∈ R_n). (2")

Замечание 1. Если а_kl и далее b_kl - комплексные числа, то R_n надо считать комплексным пространством. Если же a_kl, b_kl - действительные числа, то R_n может быть и действительным и комплексным пространством.

114

В случае одномерного пространства R₁ векторы х и у суть числа, и оператор (2") превращается в функцию

y = а₁₁х.

Оператор (2") линейный. Это значит, что он удовлетворяет условию

А(αх + βx’) = αАx + βАx'

для любых векторов х, х' ∈ R_n и чисел α, β. В самом деле,

n

∑

j=1

  a_ij (αx_j + βx

’

j

) = α

n

∑

j=1

  a_ijx_j + β

n

∑

j=1

 a_ijx

’

j

(i = 1, …, n)

Если матрицы А = ||a_kl|| и В = ||b_kl|| равны, т. е. имеют равные соответствующие элементы а_kl = b_kl, то они определяют тождественно равные операторы:

Ах = Вх, ∀ х ∈ R_n. (3)

Обратно, из равенства (3) вытекает, что

a_kl = b_kl (k, l = 1, …, n)

т. е. равенство матриц А и В (А = В). В этом легко убедиться, если положить в (3)

х = x¹ = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0),

где 1 стоит на l-м месте (l = 1, ..., п).

Таким образом, различным матрицам А соответствуют различные операторы - если две матрицы А₁ и А₂ отличаются хотя бы одним элементом, то обязательно существует вектор x, для которого

А₁х ≠ А₂х.

Пусть, кроме А, задан еще другой оператор В, определяемый квадратной матрицей n-го порядка

B = ||b_kl||

115

Каждому х ∈ R_n соответствует при помощи оператора А вектор у ∈ R_n, которому при помощи оператора В соответствует вектор z с компонентами, вычисляемыми по формулам

z_k =

n

∑

i=1

 b_kiy_i (k = 1, …, n)

В результате получим сложный линейный оператор

z = ВАх (х ∈ R_n), (4)

где

z_k =

n

∑

i=1

 b_kiy_i =

n

∑

i=1

 b_ki

n

∑

j=1

 ICa_ijx_j =

n

∑

j=1

  (

n

∑

i=1

 b_kia_ij)x_j =

n

∑

j=1

 γk_jx_j

с матрицей ||γ_kj||, называемой произведением матриц В и A. и обозначаемой так:

BA = ||γ_kj||, (5)

где

γ_kj =

n

∑

i=1

 b_kia_ij (k, J = 1, …, n) (6)

т. е. чтобы получить элемент γ_kj. матрицы ВА (принадлежащий к ее k-й строке и j-му столбцу), надо элементы k-й строки матрицы В умножить на соответствующие элементы j-того столбца матрицы А и результат сложить.

Определитель матрицы ВА равен произведению определителей матриц В и А:

|ВА| = |В| |A| (7)

Это свойство вытекает из формулы для произведения определителей (см. § 2, свойство к)).

Пусть матрица оператора А (см. (1)) имеет определитель, не равный нулю:

116

Δ = |a_kl| ≠0

В этом случае (см. § 4, теорема 1) система уравнений (2), или, что все равно, операторное уравнение у = Ах имеет единственное решение х ∈ R_n при любом заданном у ∈ R_n. При этом формулы, по которым находится х для заданного у ∈ R_n, имеют вид

x_j =

n

∑

s=1

 b_jsy_s (j=1, …, n) (8)

Здесь

b_js = А_sj/Δ (s, j = 1, ..., п) (9)

(см. § 4, (3')), где А^sj - алгебраическое дополнение элемента а_sj в определителе Δ.

Впрочем, для нас сейчас важно только отметить, что числа b_js являются элементами матрицы

B = ||b_js||,

обладающей следующими замечательными свойствами:

ВАх = х ∀x ∈ R_n, (10)

АВу = у ∀ y ∈ R_n. (11)

В самом деле, произвольный вектор х ∈ R_n переходит посредством оператора А в некоторый вектор у, который переходит посредством оператора B обратно в х. С другой стороны, каждому у ∈ R_n соответствует при помощи оператора В (см. (8)) некоторый х и притом такой, что Ах = у.

В равенстве (11) можно, очевидно, вместо у поставить другую букву, поэтому мы получили тождества

ВАх = АВх = х, ∀х.

Оператор х = Еx: ( ∀x ∈ R_n) называется единичным оператором. Матрица, ему соответствующая, имеет вид

117

и называется единичной. Мы доказали, что

АВ = ВА = Е.

Оператор В, обладающий этим свойством, называется обратным к оператору А и обозначается через А^-1. Соответственно его матрица называется обратной матрицей к матрице А и обозначается тоже через А^-1. Элементы матрицы А^-1 находятся по элементам матрицы А с помощью формул (9).

Мы доказали, что если определитель |А| квадратной матрицы А не равен нулю, то она имеет обратную матрицу А^-1. Для А^-1, таким образом, выполняются свойства

А^-1А = АА^-1 = Е.

Если определитель матрицы А равен нулю (|A| = 0), то она не имеет обратной матрицы. Достаточно сказать, что уравнение у = Ах имеет решение не для всякого у. Между тем свойство АА^-1у = у, если оно выполняется, утверждает, что каждомуу ∈ R_n соответствует (при помощи оператора А^-1) такой х, что он есть решение уравнения у = Ах.

Замечание. Операцию умножения матриц можно распространить и на неквадратные матрицы B и А, лишь бы число столбцов матрицы В совпадало с числом строк матрицы А. Тогда умножение матриц производим по формулам, подобным (6). Например, если

118

Произведение АВ в данном случае рассматривать нельзя, так как у матрицы А два столбца, а у матрицы В три строки.

Для квадратных матриц А и В произведения АВ и ВА имеют смысл, но далеко не всегда АВ равно ВА. Например, если

то

т. е. АВ ≠ ВА.

Легко проверить, что (АВ)С = А(ВС).

Если А - линейный оператор, то запись Ах можно рассматривать как произведение матрицы А на одностолбцовую матрицу

Пусть заданы линейные операторы А и В. Суммой их называется оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх ∀ х ∈ R_n.

Очевидно, матрица оператора А + В совпадает с матрицей, равной сумме матриц операторов А и В.

Легко проверить, что

А(В + С) = АВ + АС.

Пример 1. Найти матрицу,.обратную матрице

119

Матрица А определяет линейный оператор у = Ах, приводящий в соответствие каждому вектору х = (х₁, х₂, х₃) вектор у = (г/,, у," у3) при помощи равенств

y₁ = x₁ + 2x₂,
y₂ = Х₂ + x₃,
y₃ = x₁ + 2x₂,

Эти равенства можно рассматривать также как линейную систему трех уравнений относительно неизвестных x₁, x₂, х₃. Определитель этой системы не равен нулю. Но тогда ее можно решить при любых заданных y₁, y₂, y₃. В результате получим равенства

x₁ = -y₁ + 2y₃,
x₂ = y₁ - y₃,
x₃ = -y₁ + y₂ + y₃,

определяющие оператор х = А^-1у, обратный к оператору А. Матрица этого оператора

Это и есть матрица, обратная к матрице А.

Элементы матрицы А_-1 можно получить путем вычислений по формулам (9).

Обозначим элементы обратной матрицы А^-1 через b_js. Имеем Δ = 1, b_js = A_sj,

120

Таким образом,

b11 = A11 = -l,	b12 = A21 = 0,	b13 = A31 = 2,
b21 = A12 = 1,	b22 = A22 = 0,	b23 = A32 = -1,
b31 = A13 = -1,	b32 = A23 = 1,	b33 = A33 = 1.

Итак,

Пример 2. Вычислить произведение матриц ВА, где

Вычисление можно произвести по формулам (5), (6), но можно рассуждать и следующим образом.

Матрица А определяет оператор у = Ах, приводящий в соответствие векторам х = (x₁, х₂, х₃) векторы у = (у₁, у₂, у₃) при помощи равенств

y₁ = х₁ + х₃,
y₂ = Х₂ + 2Х₃,
y_з = Х₁ + Х₂ + Х₃.

Матрица же В определяет оператор z = By, приводящий в соответствие векторам у = (y₁, y₂, у₃) векторы z = (z₁, z₂, z₃) при помощи равенств

z₁ = 2у₁,
z₂ = 3y₂ + 2у₃,
z₃ = 2y₁ + y₂ - y_З.

121

Но тогда оператор

z = ВАх

определяется равенствами

z1 = 2(xl + x2)	= 2x1	+ 2x3,
z2 = 3(x2 + 2x3) + 2(xl + x2 + x3)	= 2x1 + 5x2	+ 8x3,
z3 = 2(x1 + x2) + (x2 + 2x3) - (x1 + x2+ x3)	= x1	+ 3x3.

Следовательно, произведение ВА матриц В и А есть матрица

122