Множество L в Rn (L ∈ Rn ) называется линейным подпространством пространства Rn или, короче, подпространством в Rn, если из того, что два каких-либо вектора х и у принадлежат к L (х, у ∈ L), автоматически следует, что вектор αх + βу тоже принадлежит к L (αх + βу ∈ L), где α, β - числа. Подпространство L называется m-мерным, если в нем имеется линейно независимая система а1, …, аm, состоящая из т векторов, и нет системы, состоящей из т + 1 линейно независимых векторов.
Таким образом, если а - произвольный вектор в L (а ∈ L), то система a1, ..., ат, а линейно зависима, т.е. существует нетривиальная система чисел γ1. …, γm, γm+1 такая, что
γ1a1 + … + γmam + γm+1a = 0 (1)
Здесь γт+1 ≠ 0, иначе было бы
γ1a1 + ... + γmат = 0,
и вследствие линейной независимости системы а1, ..., ат было бы γ1 = ... = γm = 0, и вся система γ1, ..., γm, γm+1 была бы тривиальной. Тогда уравнение (1) можно решить относительно а:
а = μ1a1 + ... + μmam (μs = -γ/γm+1), (2)
т. е. представить в виде линейной комбинации из векторов a1, ..., am. С другой стороны, линейная комбинация
145
вида (2) принадлежит к L, потому что L - подпространство. В этом смысле говорят, что система а1, ..., ат есть базис в L. Очевидно, любая другая линейно независимая система векторов b1, ..., bm, принадлежащих к L, есть базис в L.
Если разложить векторы b1 по векторам а1, ..., ат, то получим
bk =
bksas (
k = 1, …,
m)
По аналогии с тем, как мы рассуждали в § 16 для Rn (где теперь надо заменить is и аk соответственно на аs, bk), можно получить, что система b1, ..., bт линейно независима тогда и только тогда, когда определитель |bks| ≠ 0, и что любая независимая система, состоящая из l< m векторов, уже не может быть базисом в L.
Пространство Rn можно рассматривать как подпространство Rn, имеющее п измерений.
Множество, состоящее из одного нулевого вектора 0, есть линейное подпространство (αo + β0 = 0). Про него говорят, что оно имеет 0 измерений. Вектор 0 не образует линейно независимой системы - из равенства λ0 = 0, где λ - число, не обязательно следует, что λ есть нуль.
Если вектор х0 ≠ 0, то множество векторов вида λх0, где λ, - произвольное число, есть одномерное подпространство. В качестве базиса в нем можно взять вектор х0.
Пусть L есть линейное подпространство в Rn. Будем говорить, что вектор ν ∈ Rnортогонален к L, если он ортогонален к любому вектору и ∈ L. Обозначим через L' множество всех векторов, ортогональных к L. L' есть подпространство. В самом деле, пусть ν, ν’ ∈ L', т. е.
(ν, и) = 0, ∀u ∈ L;
(ν’, u) = 0, ∀u ∈ L.
146
Тогда для любых чисел а, Р
(αν + βν’, u) = α(ν, и) + β(ν’, u) = 0, ∀ u ∈ L,
т. e. αv + βν’∈ L'.
По определению подпространство L' ⊂ Rn называется ортогональным к данному подпространству L ⊂ Rn, если L' есть множество всех векторов, каждый из которых ортогонален к L.
Ниже доказывается теорема, выясняющая структуру произвольного подпространства L ⊂ Rn и ему ортогонального подпространства L' ⊂ Rn. В частности, из нее следует, что если L' ортогонально к L, то и, обратно, L ортогонально к L'.
Теорема 1. Пусть L есть линейное подпространство, отличное от Rn и нулевого подпространства. Тогда:
а) существует целое число т, удовлетворяющее неравенствам
1 < т< п, (3)
и ортонормированный базис
а1, ..., ат (4)
в L; если этот базис продолжить любым способом до ортонормированного базиса в Rn:
а1, ..., ат, аm+1, ..., аn, (5)
то линейное подпространство L' с базисом
am+l, ..., аn (6)
обладает следующими свойствами:
б) L' есть подпространство, ортогональное к L;
в) L есть подпространство, ортогональное к L';
г) любой вектор а ∈ Rn можно представить в виде суммы
147
а = u + v,
где и ∈ L, v ∈ L' и при этом единственным образом.
Доказательство. По условию L отлично от нулевого подпространства, следовательно, в L существует вектор х, отличный от 0. Нормируя х, получим нормальный вектор
a1 =
Обозначим через а2 любой, принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 (|а2| = 1, (а2, а1) = 0), если такой существует. Далее, обозначим через а3 принадлежащий к L нормальный вектор, ортогональный к а1 и а2 (|а3|) = 1, (а3, а1) = (а3, а2) = 0), если такой существует. Этот процесс закончится на некотором m-м этапе, где т удовлетворяет неравенствам (3), т. е. найдется ортонормированная система векторов (4), принадлежащих к L, но уже не будет в L единичного вектора, ортогонального к векторам а1, ..., ат. В самом деле, т > 1, потому что заведомо а1 ∈ L. С другой стороны, т не может быть равным п. В противном случае векторы а1, ..., аm принадлежали бы к L и вместе с ними принадлежали бы к подпространству L все линейные комбинации
λ
kak тогда получилось бы, что
L совпадает с
Rn, но
L отлично от
Rn. Полученная ортонормированная система
a1, ...,
ат есть базис в
L. В самом деле, вместе с векторами
а1, ...,
ат принадлежат к
L и все их линейные комбинации
λ
kak. Но больше в
L других векторов нет, потому что, если допустить, что некоторый вектор
а ∈
L не есть такая
148
линейная комбинация, то а можно было бы записать в виде суммы
а =
(
a, ak)
ak +
y, (7)
где у ≠ 0. Так как векторы а и ak принадлежат к подпространству L, то пришлось бы заключить, что вектор
у = а -
(
а,
ak)
ak
тоже принадлежит к L. Но вектор у ортогонален ко всем as (s = 1, ..., m) (см. § 17, (4)). Пронумированный вектор
b =
y (8)
тоже принадлежал бы к L и был бы ортогональным ко всем ak (k = 1, ..., т). Но это невозможно в силу максимального свойства числа m. Этим доказано утверждение а) теоремы.
Дополнение ортонормированной системы (4) до ортонормированного базиса (5) осуществляется на основании теоремы 1 § 17. Обозначим через L’ подпространство всех линейных комбинаций v =
μ
kak из векторов системы (6). Каждый такой вектор, очевидно, ортогонален к любому вектору
и ∈
L, который представляется в виде суммы
и =
λ
kak. С другой стороны, если
а ∈
Rn есть произвольный вектор, ортогональный ко всем векторам
и ∈
L, в частности к
а1, ...,
ат, то его разложение по базису (5) имеет вид
149
а =
(
a, ak)
ak =
(
a, ak)
ak
т. е. а ∈ L'. Мы доказали утверждение б) теоремы.
Далее, любой вектор и =
λ
kаk ∈
L ортогонален ко всем векторам
v =
μ
kak ∈
L' и, если известно, что какой-либо вектор
a =
(
a,
ak)
ak ортогонален ко всем векторам из
L’, в частности к
am+1, ...,
аn, то
a =
(
а, ak)
ak, т. е.
a ∈
L. Мы доказали утверждение в).
Наконец, если a ∈ Rn - произвольный вектор, то его единственным образом можно представить в виде суммы
а =
(
а,
ak)
ak =
и +
v,
где
u =
(
a, ak)
ak ∈
L,
ν =
(
a, ak)
ak ∈
L’.
Этим теорема 1 доказана полностью.
Теорема 2. Пусть L есть подпространство т измерений в Rn. Тогда подпространство L' ⊂ Rn, ортогональное к L, имеет п - т измерений и при этом L есть в свою очередь подпространство, ортогональное к L'.
150
Доказательство. Если L отлично от Rn и от нулевого подпространства, то данная теорема содержится, очевидно, в теореме 1.
Пусть L есть нулевое подпространство. Так как любой вектор а ∈ Rn ортогонален к 0, то L' = Rn и измерение Rn равно п - 0 = п. Обратно, вектор 0 ортогонален ко всем векторам а ∈ Rn = L'. Других векторов, ортогональных ко всем векторам Rn, нет, потому что всякий отличный от 0 вектор уже не ортогонален к самому себе. Мы доказали, что L ортогонально к L’.
Если L = Rn, то рассуждаем подобным образом.
Следствие 1. Пусть задана система векторов
х1, ..., хт, (9)
и пусть L' есть подпространство векторов v, каждый из которых ортогонален к векторам этой системы:
(u, xk) = 0 (k = 1, ..., m).
Пусть, далее, дан вектор а, ортогональный ко всем указанным векторам v, т. е. ортогональный к подпространству L'. Тогда а есть некоторая линейная комбинация из векторов заданной системы (9)
a =
λ
kxkДоказательство. Рассмотрим подпространство L, состоящее из всевозможных линейных комбинаций векторов системы (9), т. е. всякий вектор и ∈ L есть некоторая линейная комбинация
u =
λ
kxk
В этом случае будем также говорить, что подпространство L натянуто на векторы системы (9).
151
Так как всякий вектор v ∈ L' ортогонален к векторам системы (9), то он, очевидно, ортогонален к любому вектору и ∈ L. Это показывает, что подпространство L' ортогонально к подпространству L. Но тогда по теореме 2 и L ортогонально к L’, т. e. L состоит из всех векторов и, ортогональных к L'. По условию а есть один из таких векторов и, следовательно, а есть некоторая линейная комбинация из векторов системы (9).
152