В этом параграфе излагается теория линейных уравнений, параллельная теории, изложенной в § 4.
Это бездетерминантная теория. В ее формулировки определитель системы уравнений явно не входит. Преимущество ее заключается в том, что она послужила основой и аналогом для многих обобщений в математическом анализе. Первые такие важные обобщения принадлежат Фредгольму.
Мы снова рассматриваем линейный оператор (см. § 15) А:
у = Ах (x ∈ Rn), (1)
приводящий в соответствие каждому вектору х ∈ Rn вектор у ∈ Rn при помощи равенств
yi =
aisxs (
i = 1, …,
n) (2)
Здесь
(3)
152
- заданная квадратная матрица. Оператору А соответствует сопряженный ему оператор
у = А’х (х ∈ Rn), (1’)
определяемый сопряженной к (3) матрицей
(3*)
При помощи компонент векторов х, у он записывается в виде
yi =
aljxl (
j = 1, …,
n) (2’)
т. е. компонента уj выражается через координаты вектора х с помощью j-й строки матрицы А* или j-го столбца матрицы А.
Справедливо равенство
(Ах, z) = (х, A*z) ∀ x, z ∈ Rn, (4)
верное для всех х, z ∈ Rn. В самом деле, для действительных Rn и аis.
В комплексном случае
153
Равенство (4) характерно для сопряженного оператора, потому что, если для некоторого линейного оператора В выполняется равенство
(Ах, z) = (x, Bz), ∀ x, z ∈ Rn, (5)
то необходимо В = А*. Действительно, (В = ||bik||), для действительных ais, bis, Rn
(Ax, z) =
aisxszi
(x, Bz) =
bsizixs =
bsixszi
Из (5) следует, что
aisxszi =
bsixszi ∀
x, z ∈
Rn, (6)
откуда ais = bis (i, s = 1, ..., п), в чем можно убедиться, если положить в (6) х = (0, ...,0, 1, 0, ..., 0) и z = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), где у х единица стоит на s-м месте, а у z на i-м месте. В комплексном случае
(Ax, z) =
ajsxszj,
(x, Bz) =
bsjzj =
xs bsjzj =
=
bsjxszj
откуда ajs = bsj или bsj = ajs
154
Таким образом, сопряженный оператор А* к линейному оператору А можно также определить как такой линейный оператор, для которого выполняется равенство (4).
Равенства (1) и (1*) можно рассматривать как уравнения - задан вектор у ∈ Rn, и мы ищем х ∈ Rn, для которого выполняется равенство (1) или (1*).
Соответствующие однородные уравнения имеют вид
Ах = 0 (10)
или
ajsxs = 0 (
i = 1, ...,
n) (2
0)
и
A*z = 0 (10*)
или
aljal = 0 (
j = 1, …,
n) (2
0*)
Обозначим через L образ пространства Rn при помощи оператора А:
L = A(Rn)
- и через L' подпространство всех векторов z, удовлетворяющих однородному сопряженному уравнению (10*).
Мы назвали L' подпространством, потому что вместе с z, z' к нему принадлежат также αz + βz', где α и β - числа:
А*(αz + βz’) = αA*z + βA*z’ = 0.
L есть тоже подпространство, потому что, если у, у ∈ L, то существуют векторы х, x' ∈ Rn такие, что у = Ах, у' = Ах', и, следовательно,
αy + βу' = αАх + βАх' = A(αx + βx’),
т. е. αy + βy’ ∈ L.
155
Справедлива лемма (см. § 20, теорема 2).
Лемма 1. Подпространства L и L' взаимно ортогональны, т. е. L' есть множество всех векторов zt каждый из которых ортогонален к L, a L в свою очередь есть множество всех векторов у, каждый из которых ортогонален к L'. Если L имеет k измерений, то L' имеет n-k измерений.
Доказательство. Обратимся к равенству
(Ах, z) = (x, А*z), (7)
верному для всех x, z ∈ Rn. Пусть z есть вектор, ортогональный к L, тогда для него левая часть (7) равна нулю для всех х ∈ Rn, но тогда и правая часть равна нулю для всех х ∈ Rn, в частности для х = A*z:
(А*z, А*z) = 0.
Следовательно, A*z = 0. Мы доказали, что если вектор z ортогонален к L, то он удовлетворяет уравнению A*z = 0 (т. е. z ∈ L').
Обратно, пусть вектор z удовлетворяет уравнению A*z = 0. Для такого z правая часть (7) равна нулю при любых x, но тогда и левая равна нулю, т. е. z ортогонален ко всем векторам вида Ах, т. е. ко всем векторам у ∈ L. Другими словами, z ортогонален к L.
Мы доказали, что L' есть множество всех векторов z, ортогональных к подпространству L. Но тогда на основании теоремы 2 § 20 и, обратно, L есть множество всех векторов у, ортогональных к L’, и сумма измерений L и L’ равна п. Лемма доказана.
Справедлива теорема.
Теорема 1. Для того чтобы уравнение
y =
Ах (1’)
156
имело решение для данного вектора у е Rn, необходимо и достаточно, чтобы вектор у был ортогональным ко всем векторам z, удовлетворяющим однородному сопряженному уравнению
A*z = 0. (10*)
Решение х уравнения (1), если оно существует, можно записать в виде суммы
x = x0 + u,
где х0 - какое-либо частное решение уравнения (1), а и - произвольное решение однородного уравнения
Аи = 0. (10)
Любая указанная сумма есть решение (1').
Доказательство. В силу леммы 1, если L = A(Rn), a L’ есть множество всех z, удовлетворяющих уравнению A*z = 0, то L и L’ суть подпространства, ортогональные взаимно. Но тогда, если для у существует решение уравнения (1), то у ∈ L и необходимо все z ∈ L' ортогональны к у. Если же вектор у ортогонален ко всем z ∈ L', то у ∈ L, т. е. существует х, для которого у = Ах.
Пусть теперь для вектора у существует решение уравнения (1'). Обозначим его через х0:
у = Ах0.
Тогда, очевидно, сумма х0 + и, где Аи = 0, есть тоже решение уравнения (1’):
А(х0 + и) - Ах0 + Аи = у + 0 = у.
Обратно, если х есть произвольное решение уравнения (1’), а х0 - определенное частное решение, то
у = Ах, у = Ах0,
и, следовательно,
157
0 = Ах - Ах0 = А(x - x0) = Аu,
где и = х - х0, т. е. х = х0 + и, где и удовлетворяет уравнению Аи = 0.
Замечание. Поясним на примере действительного пространства R2 связь теоремы 1 с теорией Кронекера-Капелли. Пусть вектор у = (y1, y2) ортогонален ко всем решениям системы
(8)
Покажем, что тогда ранги матрицы А и расширенной матрицы
равны между собой. Если ранг А = 2, то, очевидно, ранг В = 2. Пусть ранг А = 1. Всегда ранг В > ранг А = 1. Поэтому нам необходимо доказать, что
В самом деле, так как у ортогонален к решениям системы (8) (нетривиальным), то у1z1 + y2z2 = 0. Поэтому, считая, что z1 ≠ 0,
Δ1 = a11y2 - a21y1 = a11y2 + a21
=
(
a11z1 +
a21z2) = 0,
Δ2 = a12y2 - a22y1 = a12y2 + a22
=
(
a12z1 +
a22z2) = 0.
Отсюда следует, что ранг В = ранг А = 1.
Обратно, пусть вектор у = (y1, y2) таков, что ранг В = ранг А, тогда (1) имеет некоторое решение (x1, x2).
158
Докажем, что у ортогонален к решениям z = (z1, z2) системы (8). В самом деле,
y1z1 + y2z2 = (a11x1 + a12x2)z1 + (a21x1 + a22x2)z2 =
= (a11z1 + a21z2)x1 + (a21z2 + a22z2)x2 = 0 ∙ x1 + 0 ∙ x2 = 0.
Теорема 2. Однородные уравнения
Ах = 0 (10)
и
А*x = 0 (10*)
имеют одинаковое число линейно независимых решений.
В частности, если одно из этих уравнений имеет только тривиальное решение 0, т. е. имеет нуль независимых решений, то это верно и для другого.
Замечание. В последнем случае уравнение (1) имеет единственное решение.
Доказательство. Матрицы А и А* имеют один и тот же ранг, который обозначим через k. Они имеют также один и тот же определитель Δ.
Если k = n, то Δ ≠ 0 и уравнения (10) и (10*) имеют только тривиальные решения 0. В этом случае, согласно теореме 1, уравнение (1) имеет единственное решение при любых у ∈ Rn.
Пусть теперь 1 ≤ k< п. После соответствующей перенумерации уравнений и компонент определитель
Первые k уравнений (10) теперь запишем в виде
159
(9)
Ниже приводится таблица п - k векторов
(10)
Чтобы получить первый вектор, подставляем в систему (9)
xk+1 = 1, xk+2 = 0, …, xn = 0
и решаем ее относительно x1, …, xk. Единственные решения, которые здесь получаются, обозначим через х,, …, x
. Чтобы получить второй вектор, подставляем в (9)
xk+1 = 0, xk+2 = 1, xk+3 = 0, …, xn = 0
и находим числа x
...,
x и т. д. Векторы (10) обладают следующими свойствами.
- 1) Система векторов (10) линейно независима, потому что ранг матрицы этих векторов равен числу этих векторов μ = п - k,
- 2) Каждый вектор системы (10) есть решение (любых!) уравнений (20) или Ах = 0.
- 3) Всевозможные решения уравнения Ах = 0 имеют вид
λ1x1 + … + λn-kxn-k,
где λ1, ..., λn-k - произвольные числа.
160
Обычно эти три утверждения заменяют словами: уравнение (10) имеет п - k линейно независимых решений.
Подобными рассуждениями, учитывая, что ранг А = ранг А*, доказываем, что уравнение А*х = 0 тоже имеет п - k линейно независимых решений. Теорема доказана.
Теорема 3. Если одно из однородных уравнений (10) или (10*) имеет k линейно независимых решений, то и другое имеет k линейно независимых решений; образы же L = A(Rn) и L* = A*(Rn) пространства Rn, получаемые при помощи операторов А и А*, суть подпространства п - k измерений.
Доказательство. Первое утверждение теоремы о равенстве количеств линейно независимых решений однородных уравнений (10) и (10*) есть теорема 2, а второе -есть лемма 1, в силу которой измерение подпространства L равно п - k, где k - измерение подпространства L' векторов 2, удовлетворяющих уравнению А*z = 0. Аналогично измерение L* равно п - k, где k - количество измерений подпространства векторов и, удовлетворяющих уравнению Аи = 0.
161