Высшая математика. Том 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

§ 23. Квадратичная форма в двухмерном пространстве

При п = 2 квадратичная форма имеет вид

a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ + a₂₁x₂x₁ + a₂₂x₂² =
= a₁₁x₁² + 2a₁₂x₁x₂ + a₂₂x₂² (1)

так как a₁₂ = а₂₁ (мы считаем a_kl действительными).

Чтобы привести форму (1) к сумме квадратов координат вектора (ξ₁, ξ₂) в некотором базисе (x¹, х²), надо (см. §22) найти базисные орты x¹, х² - собственные векторы самосопряженного оператора А, порожденного симметрической матрицей

Укажем способ нахождения собственных значений (чисел) и собственных векторов оператора А, отличный от метода § 22.

Итак, если λ₀ - собственное число оператора А и x⁰ = ( x

(0)

1

, х

(0)

2

) ≠ 0 - соответствующий ему собственный вектор, то

Ах⁰ = λ₀x⁰.

Перепишем это уравнение в координатной форме:

173

(2)

или в операторной форме:

(А - λЕ)х⁰ = 0, (2')

где Е - тождественный оператор.

Таким образом, однородная система (2) имеет ненулевое решение х⁰, что может быть, если определитель системы (2) или (2') равен нулю:

Итак, собственное число λ₀ является корнем уравнения

|А - λ₀E| = 0, (3)

которое называется характеристическим уравнением, оператора А (или квадратичной формы (Ах, x)).

Верно и обратное утверждение. Если λ₀ является корнем уравнения (3), то нетривиальное решение системы

(А - λ₀Е)х = 0 (4)

будет собственным вектором самосопряженного оператора А.

Следовательно, собственные числа оператора А находятся в данном случае как корни квадратного уравнения (3):

(а₁₁ - λ)(а₂₂ - λ) - a

2

12

= 0,

λ² - (а₁₁ + а₂₂)λ + а₁₁а₂₂ - а

2

12

= 0.

Решая это уравнение, получаем

(5)

174

Отсюда видно, что λ₁ ≥ λ₂, при этом λ₁ = λ₂ в случае а₁₂ = 0, а₁₁ = а₂₂. Будем для определенности считать, что а₁₁ ≥ а₂₂ (иначе меняем x_l на х₂ и х₂ на хг). Тогда

λ₁ ≥ a₁₁(λ₁ - a₁₁ =

1

2

 [√4a

2

12

+ (a₁₁ - a₂₂)² - (a₁₁ - a₂₂)] ≥ 0).

Из (5) следует, что собственные значения оператора А (самосопряженного) - действительные числа.

Теперь по известным собственным числам λ₁ и λ₂ найдем собственные единичные векторы, как решения системы (4). Так как |А - λЕ| = 0, то

ранг (А - λ₁Е) ≤ 1.

Если λ₁ = λ₂, то в этом случае матрица А - λ₁Е состоит из одних нулей (λ₁ = λ₂ = а₁₁ = а₂₂, а₁₂ = 0), т. е. ее ранг равен нулю. В этом случае квадратичная форма уже приведена к сумме квадратов (a₁₂ = a₂₁ = 0). Системе (4) удовлетворяет любой вектор х = (x₁, x₂). Поэтому за собственные векторы можно взять орты системы координат х¹ = i = (1, 0), х² = j = (0, 1). Любая другая система (х¹, х²) ортонормальных векторов обладает тем свойством, что в этой системе квадратичная форма по-прежнему состоит из одних квадратов.

Теперь, если λ₁ > λ₂, то либо а₁₂ ≠ 0, либо а₁₂ = 0, a₁₁ ≠ а₂₂. Второй случай можно не рассматривать, так как форма (1) уже приведена к сумме квадратов. Итак, пусть а₁₂ ≠ 0. Тогда

ранг (А- λ₁Е) = 1.

Поэтому достаточно рассмотреть одно уравнение системы (4):

(а₁₁ - λ₁)x₁ + a₁₂x₂ = 0.

Отсюда имеем (а₁₂ ≠ 0)

x₂ = [(-a₁₁ + λ₁)/a₁₂]x₁

175

Вектор

является решением системы (4). Нормируя этот вектор, получим собственный вектор

Проводя элементарные преобразования, можно получить равенства

(6)

В дальнейшем достаточно брать в формулах (6) знак +.

Совершенно аналогично по собственному числу λ₂ найдем собственный вектор х². Оказывается, что

х² = (х

(2)

1

, x

(2)

2

) = (-x

(1)

2

, x

(1)

1

).

Составим теперь матрицу оператора (ортогонального преобразования) Λ, переводящего орты (i, j) в орты (x¹, х²):

176

(в строках стоят координаты образов базисных ортов i и j при помощи Λ, т. е. x¹ = x

(1)

1

i + х

(1)

2

j, х² = - х

(1)

2

i + х

(1)

1

j). Тогда координаты вектора (x₁, х₂) в системе (i, j) связаны с координатами (ξ₁, ξ₂) этого вектора в системе (х¹, х²) с помощью столбцов матрицы Λ:

(7)

Подставляя эти значения в квадратичную форму (1) и учитывая формулы (5) и (6), получим

a₁₁x

2

1

+ 2a₁₂x₁x₂ + а₂₂х

2

2

= λ₁ξ

2

1

+ λ₂ξ

2

2

. (8)

Правая часть этого равенства называется каноническим видом квадратичной формы.

Если числа λ₁ и λ₂ одного знака, то будем говорить, что квадратичная форма принадлежит эллиптическому типу, если λ₁ и λ₂ разных знаков, то гиперболическому типу; если же одно из чисел λ₁ или λ₂ равно нулю, то параболическому типу.

Из (5) видно, что λ₁λ₂ = а₁₁а₂₂ - а

2

12

. Поэтому тип формы (1) можно определить по знаку выражения а₁₁а₂₂ - а

2

12

.

Квадратичная форма будет эллиптической, гиперболической или параболической, если выражение а₁₁а₂₂ - а

2

12

соответственно больше, меньше или равно нулю.

Пример 1. Привести к каноническому виду форму

x

2

1

- √3х₁х₂ + 2х

2

2

.

В данном случае a₁₁ = 1, а₁₂ = -

√3

2

  , а₂₂ = 2. Так как

177

а₁₁а₂₂ - a

2

12

= 2 -

3

5

 =

5

4

  > 0, то форма будет эллиптической. Найдем собственные векторы и их собственные значения по формулам (5), (6):

Далее,

В системе (х¹, х²) наша квадратичная форма имеет вид

5

2

 ξ

2

1

+

1

2

 ξ

2

2

.

Так как то преобразование с помощью матрицы

означает поворот системы х₁, х₂ на угол β = π/3 около начала координат по часовой стрелке (см. пример 1 в конце § 16).

178