Высшая математика. Том 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

§ 26. Общая теория поверхности второго порядка в трехмерном пространстве

3

∑

k=1

 

3

∑

l=1

 a_klx_kx_l + 2

3

∑

l=1

 A_lx_l + B = 0 (1)

где а_kl = a_lk, А_l, В - постоянные числа - коэффициенты уравнения.

В § 25 было перечислено восемь видов 1)-8) (частных случаев) уравнения (1) и была отмечена возможность доказательства того, что для каждого данного уравнения

217

(1), если оно не определяет мнимую поверхность, можно найти прямоугольную систему координат, в которой это уравнение имеет один из указанных видов.

Ниже дается доказательство этого утверждения.

Мы начинаем с того, что рассматриваем квадратичную форму, фигурирующую в левой части уравнения (1).

На основании теоремы 2 § 22 эту форму можно привести при помощи соответствующего ортогонального преобразования

x_i =

3

∑

s=1

 β_isx

’

s

(i = 1, 2, 3) (2)

к следующему виду:

3

∑

k=1

 

3

∑

l=1

 a_klx_kx_l = λ₁x

’2

1

+ λ₂x

’2

2

+ λ₃x

’2

3

,

где λ₁, λ₂, λ₃ - определенные действительные числа.

Подчеркнем, что равенства (2) определяют преобразование исходной прямоугольной системы координат х₁, x₂, x₃ к некоторой другой прямоугольной системе х

’

1

, х

’

2

, x

’

3

. Точка, имеющая координаты (x₁, x₂, х₃) в исходной системе, в новой системе имеет координаты (х₁, x₂, x₃), получаемые посредством обращения операции (2).

В новой прямоугольной системе наша поверхность имеет, очевидно, уравнение

λ₁x

’2

1

+ λ₂x

’2

2

+ λ₃x

’2

3

+ 2

3

∑

k=1

 A

’

k

x

’

k

+ B = 0, (3)

где A

’

k

- некоторые постоянные числа.

Рассмотрим сначала случай, когда все три числа λ₁, λ₂, λ₃ отличны от нуля (λ_i ≠ 0, i = 1, 2, 3).

В этом случае перенесем систему координат х

’

1

, х

’

2

, х

’

3

так, чтобы ее начальная точка перешла в точку (а₁, а₂, а₃); тогда получим вторую прямоугольную систему координат ξ₁, ξ₂, ξ₃, где

х

’

i

= а_i + ξ_i (i = 1, 2, 3).

218

В ней уравнение нашей поверхности имеет вид

λ₁(a₁ + ξ₁)² + λ₂(a₂ + ξ₂)² + λ₃(a₃ + ξ₃)² +
+ 2

3

∑

k=1

 A

’

k

(a_k + ξ_k) + B = 0

или

λ₁ξ

2

1

+ λ₂ξ

2

2

+ λ₃ξ

2

3

+ 2

3

∑

l=1

 (a_lλ_l + A

’

l

)ξ_l + B₁ = 0,

где B₁ - некоторая константа. Если положить

a₁ =

A ’ l

λl

  (l = 1, 2, 3),

то это уравнение упростится:

λ₁ξ

2

1

+ λ₂ξ

2

2

+ λ₃ξ

2

3

= -B₁

Предположим, что числа a.j, А,2, А,3 одинакового знака.

Если при этом В₁ = 0, то уравнению (4) удовлетворяет единственная точка, именно нулевая точка (0, 0 0) (см. 7) §25).

Если В₁ ≠ 0 и имеет знак чисел λ₁, λ₂, λ₃, то, очевидно, нет точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (4). В этом случае поверхность (1) мнимая.

Если же B ≠ 0 и имеет знак, противоположный знаку чисел λ₁, λ₂, λ₃, то уравнение (4) можно записать в виде

λ 2 1

- B1 λ1

  +

ξ 2 2

- B1 λ2

  +

ξ 2 3

- B1 λ3

  = 1 (5)

или, полагая

a₂ = -

B1

λ1

 , b² = -

B2

λ2

 , c² = -

B3

λ3

 

в виде

ξ 2 1

a2

  +

ξ 2 2

b2

  +

ξ 2 3

c2

  = 1 (a, b, c > 0)

Таким образом, поверхность (1) есть эллипсоид (см. 1) § 25).

Пусть теперь два из чисел λ₁, λ₂, λ₃ имеют один знак, а третье - противоположный им знак.

219

Если при этом B₁ = 0, то можно считать в уравнении (4), что λ₁ > 0, λ₂ > 0, λ₃< 0, умножая (4), если это нужно, на -1 и переставляя, если это нужно, местами ξ_j. Тогда, положив

λ₁ =

1

a2

 , λ₂ =

1

b2

 , λ₃ = -

1

c2

  (a, b, c > 0),

получим уравнение конуса (см. 6) § 25)

ξ 2 1

a2

  +

ξ 2 2

b2

  -

ξ 2 3

c2

  = 0.

При B₁ ≠ 0 воспользуемся снова формулой (5). Выделим два существенно различных случая:

ξ 2 1

a2

  +

ξ 2 2

b2

  -

ξ 2 3

c2

  = 1 (однополостный гиперболоид 2) § 25),

ξ 2 1

a2

  -

ξ 2 2

b2

  -

ξ 2 3

c2

  = 1 (двуполостyный гиперболоид 3) § 25).

К этим двум случаям сводятся и остальные случаи путем соответствующей замены координат ξ_i.

Пусть теперь Δ = λ₁λ₂λ₃ = 0. Тогда по крайней мере одно из чисел λ₁, λ₂, λ₃ равно нулю. Будем считать, что Х,3 = 0, поменяв, если нужно, местами .

Итак, пусть λ₃ = 0. Выделим сначала случай, когда а

’

3

= 0. Тогда уравнение (3) имеет вид

λ₁х

’2

1

+ λ₂х

’2

2

+ 2(А

’

1

х

’

1

+ А

’

2

х

’

2

) + В = 0,

где числа λ₁, λ₂, А

’

1

, А

’

2

, В могут быть любыми.

В плоскости (х

’

1

, х

’

2

) это есть общее уравнение кривой второго порядка. В пространстве (х

’

1

, х

’

2

, х

’

3

) ему соответствует уравнение цилиндрической поверхности (см. 8) § 25), проходящей через плоскую кривую второго порядка с образующей, параллельной оси х

’

3

(см. 8) § 25).

Далее мы будем всегда считать, что А

’

3

≠ 0 и λ₃ = 0, и тогда уравнение (3) имеет вид

(λ₁x

’2

1

+ 2A

’

1

x

’

1

) + (λ₂x

’2

2

+ 2A

’

2

x

’2

2

) + A

’

3

x

’

3

+ B = 0. (3’)

220

Существенно различными случаями являются следующие: а) λ₁, λ₂ > 0; б) λ₁ > 0, λ₂< 0; в) λ₁ > 0; λ₂ = 0. Другие случаи сводятся к ним заменой координат или умножением на -1.

Рассматриваем случай а) λ₁, λ₂ > 0. Вынесем за скобки множители λ₁ и λ₂ и дополним выражения в этих скобках до полных квадратов. Тогда получим, учитывая, что λ₁, λ₂, A

’

3

отличны от нуля,

λ₁(x

’

1

+ α)² + λ₂(x

’

2

- β)² + 2 А

’

3

(x

’

3

+ γ) = 0,

где α, β, γ - соответствующие числа. Полагая

ξ = х

’

1

+ α, η = x

’

2

+ β, ζ = x

’

3

+ γ.

получим

λ₁ξ² + λ₂η² = -2 A

’

3

ζ

или

ζ2

- A ’ 3 λ1

  +

η2

- A ’ 3 λ2

  = 2ζ. (6)

Если -А

’

3

> 0, то уравнение (6) имеет вид

ξ2

p

  +

η2

q

  = 2ζ (эллиптический параболоид 4) § 25) (7)

(p, q > 0).

Если же - А

’

3

< 0, то заменяя ζ на -ζ, мы снова получим уравнение вида (7), т. е. эллиптический параболоид.

Рассмотрим теперь случай б) λ₁ > 0, λ₂< 0 ( a

’

3

≠ 0). Воспользуемся уравнением (6). Если А

’

3

< 0, то это уравнение записывается в виде

ζ2

p

  -

η2

q

  = 2ζ (гиперболический параболоид см. 5) § 25) (8)

(p, q > 0).

221

Если же A

’

3

> 0, то после замены местами ξ и η снова получим уравнение вида (8), т. е. гиперболический параболоид.

Переходим теперь к случаю в) λ₁ > 0, λ₂ = 0 ( A

’

3

≠ 0). Тогда уравнение (3') сводится к следующему:

(λ₁х

’2

1

+ 2A

’

1

х

’

1

) + 2(А

’

2

х

’

2

+ А

’

3

x

’

3

) + В = 0.

Вынося за первые скобки λ₁ дополняя выражение в этих скобках до полного квадрата (учитывая, что λ¹A

’

3

≠ 0), получим

λ₁(х

’

1

+ α)²+ 2А

’

2

х

’

2

+ 2А

’

3

(x

’

3

+ β) = 0,

где α, β - некоторые числа. После замены

ξ = x

’

1

+ α, η = x

’

2

, ζ = x

’

3

+ β

это уравнение превратится в следующее:

λ₁ξ² + 2(А

’

2

η + А

’

3

ζ) = 0. (9)

Рассмотрим в плоскости (η, ζ) вектор ω = (А

’

2

, А

’

3

).

Запишем его в виде

(А

’

2

, А

’

3

) = ρ(cos α, sin α),

где ρ > 0 - длина ω, a (cos α, sin α) - единичный вектор, направленный в сторону ω. Другой вектор (sin α, -cos α) тоже единичный и перпендикулярен к первому.

Введем в плоскости (η, ζ) ортогональное преобразование

и = η cos α + ζsin α, v = η sin α - ζcos α.

Этим прямоугольная система координат η, ζ заменяется на прямоугольную систему координат u, v, а прямоугольная система координат ξ, η, ζ заменяется на прямоугольную систему координат ξ, и, v. В результате уравнение (9), которое может быть записано так:

λ₁ξ² + 2ρ(η cos α + ζ sin α) = 0,

принимает следующий вид:

λ₁ξ² + 2ρu = 0,

или меняя и на -и,

222

ξ² = 2ρu (ρ = ρ/λ₁ > 0),

или наконец, меняя местами ξ и и,

и² = 2рξ (р > 0),

т. е. мы получили уравнение параболического цилиндра (в прямоугольных координатах (ξ, и,v)).

Мы рассмотрели все случаи, могущие иметь место для уравнения (1), и в каждом из них нашли прямоугольную систему координат, в которой уравнение (1) имеет один из видов 1)-8) § 25. Утверждение доказано.

223