Высшая математика. Том 1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии

§ 7. Отрезок. Деление отрезка в данном отношении

Зададим произвольные точки x, у∈ R_nи введем множество точек (векторов):

z = λ х + μ у (λ, μ ≥ 0, λ, + μ = 1), (1)

определяемых неотрицательными числами λ, μ, сумма которых равна 1. Имеем

z= (1 - μ) X + μ y = х + μ ( у - х) (0 ≤ μ ≤ 1) (2)

или

z = у + λ( х - у) (0 ≤ λ ≤ 1). (2')

Из равенства (2) видно, что в трехмерном пространстве точки zзаполняют отрезок, соединяющий хи у.Ведь радиус-вектор zесть сумма вектора хи вектора μ( y - х), коллинеарного с у - х(рис. 11). Таким образом, множество точек (1) представляет собой отрезок

67

[х, у] в R₃, соединяющий точки хи у. При μ = 0 z= xпри μ = 1 z = у, для любого μ > 0 (0 ≤ μ ≤ 1) z есть произвольная точка [ x, у].

По определению отрезком [ x, у], соединяющим точки х, у ∈ R_n, называется множество всех точек zвида (1). Справедлива

Теорема 1. Точка

z= λ x + μ у (λ, μ ≥ 0, λ + μ = 1)

делит отрезок [ х, у], соединяющий точки х, у ∈ R_n на отрезки с длинами, находящимися в отношении μ : λ.

Доказательство. Из (2) следует, что z - х = μ( y - х), и потому расстояние между точками хи zравно

| z - х| = μ| y - x | (3)

Далее, из (2') z - у= λ( x - у), и потому расстояние между точками zи у равно

| z - у| = λ| x - у |. (4)

Из (3) и (4) следует

| z - х| ∶ | z - у| = β ∶ λ,

что и требовалось доказать.

Задача. Требуется найти на отрезке [ х, у], соединяющем точки х, у∈ R_n, точку z, делящую этот отрезок в отношении р ∶ q (р >0, q >0).

Решение. Возьмем числа

λ =

q

p + q

  , μ =

Р

p + q

  ( р ∁ 0, q ∁ 0, p + q > 0).

Они удовлетворяют свойствам λ, μ ≥ 0, λ + μ = 1, μ/λ = p/q. Поэтому на основании теоремы 1 искомая точка

z = λ x + μ y =

qx+ py

p + q

  (5)

68

Ее координаты z = (z₁ ..., z_n) выражаются через координаты х= ( x₁ ..., х_п), у = ( y ₁, ..., у_п) при помощи равенств

z_j =

qxj + PYJ

p + q

  ( j =1, …, n). (5')

В частности, середина отрезка получается при р = q = 1, т. е. λ = μ = 1/2.

Отметим, что, как доказывается в механике, точка z, определяемая равенством (5) или (5'), есть центр тяжести системы точек хи у, в которых сконцентрированы массы соответственно q. и р.

Отметим, что в R₃множество точек

z = λ х + μ y, λ + μ = 1,

где λ, и μ любого знака представляет собой прямую, проходящую через точки хи у. Это видно из равенства (2').

В пространстве же R_n(n >3) это множество называют прямой по определению.

Пример 1. Найти координаты центра тяжести системы материальных точек x^k = (х₁ ^k, х₂ ^k, x₃ ^k) соответственно с массами_k (k = 1,..., М). Применяя формулы (5') для точек х¹, х², найдем центр тяжести z¹точек х¹и х ².Затем находим центр тяжести z ²точек z ¹и х ³соответственно с массами р₁ + р₂ и р₃.Продолжая этот процесс на (М - 1)-м шаге, получаем

(j = 1, 2, 3).

69